（10分）（2014•江苏）盒中共有 9 个球，其中有 4…——2014 高考数学第 25 题答案解析

（1）一次取出 2 个球，共有
\[ \binom{9}{2}=36 \]
种等可能结果。

取出的 2 个球颜色相同，可能为 2 个红球、2 个黄球或 2 个绿球，情况数为
\[ \binom{4}{2}+\binom{3}{2}+\binom{2}{2}=6+3+1=10. \]
因此
\[ P=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}. \]

（2）一次取出 4 个球，总情况数为
\[ \binom{9}{4}=126. \]

4 个球中红、黄、绿球个数的最大数至少为 2，至多为 4，所以
\[ X=2,3,4. \]

当 $X=4$ 时，只能取出 4 个红球：
\[ P(X=4)=\frac{\binom{4}{4}}{\binom{9}{4}}=\frac{1}{126}. \]

当 $X=3$ 时，可能取出 3 个红球和 1 个非红球，或 3 个黄球和 1 个非黄球。绿球只有 2 个，不可能取出 3 个绿球。因此
\[ P(X=3)=\frac{\binom{4}{3}\binom{5}{1}+\binom{3}{3}\binom{6}{1}}{\binom{9}{4}} =\frac{20+6}{126} =\frac{13}{63}. \]

于是
\[ P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4) =1-\frac{13}{63}-\frac{1}{126} =\frac{11}{14}. \]

所以 $X$ 的概率分布为
\[ \begin{array}{c|ccc} X & 2 & 3 & 4\\ \hline P & \dfrac{11}{14} & \dfrac{13}{63} & \dfrac{1}{126} \end{array} \]

数学期望为
\[ E(X)=2\cdot\frac{11}{14}+3\cdot\frac{13}{63}+4\cdot\frac{1}{126}. \]
通分得
\[ E(X)=\frac{198+78+4}{126} =\frac{280}{126} =\frac{20}{9}. \]