（10分）（2014•江苏）盒中共有 9 个球，其中有 4…——2014 高考数学第 25 题答案解析

【解答】
（10分）（2014•江苏）盒中共有 9 个球，其中有 4 个红球， 3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完全相同。
（1）从盒中一次随机取出 2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的概率 P ；
（2）从盒中一次随机取出 4 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \mathrm{x}_{3}$ ，随机变量 X 表示 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \mathrm{x}_{3}$ 中的最大数，求 X 的概率分布和数学期望 E （ X ）。

考点 离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．
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专题 概率与统计．
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分析（1）先求出取 2 个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式 ：计算即可；
（2）先判断X的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可。
解答 解（1）一次取 2 个球共有 $C_{9}^{2}=36$ 种可能， 2 个球颜色相同共有 $C_{4}^{2}+C_{3}^{2}+C_{2}^{2}=10$ 种可能情况
∴ 取出的 2 个球颜色相同的概率 $\mathrm{P}=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$ ．
②$X$ 的所有可能值为 $4,3,2$ ，则 $P(X=4)=\frac{C_{4}^{4}}{C_{9}^{4}}=\frac{1}{126}, P(X=3)=$

$$ \frac{C_{4}^{3} \cdot C_{5}^{1}+C_{3}^{3} \cdot C_{6}^{1}}{C_{9}^{4}}=\frac{13}{63} $$

于是 $\mathrm{P}(\mathrm{X}=2)=1-\mathrm{P}(\mathrm{X}=3)-\mathrm{P}(\mathrm{X}=4)=\frac{11}{14}$ ，
X 的概率分布列为

故 X 数学期望 $\mathrm{E}(\mathrm{X})=2 \times \frac{11}{14}+3 \times \frac{13}{63}+4 \times \frac{1}{126}=\frac{20}{9}$ ．
点评 本题考查了排列组合，概率公式以概率的分布列和数学期望，知识点比较多，属基 ：础题．