2014_退役省自主命题 (2014·理)
17．（本小题满分 12 分）
已知首项都是 1 的两个数列 $\left\{a_{n}\right\}\left\{b_{n}\right\}\left(b_{n} \neq 0, n \in N^{+}\right)$，满足 $a_{n} b_{n+1}-a_{n+1} b_{n}+2 b_{n+1} b_{n}=0$．
（1）令 $\mathrm{c}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}}$，求数列 $\left\{\mathrm{c}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $b_{n}=3^{n-1}$，求数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$
【答案】（1）$c_{n}=2 n-1$．②$S_{n}=(n-1) \cdot 3^{n}+1$．
## 【解析】
试题分析：（1）已知数列 $\mathrm{c}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}}$，因此柇 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{b}_{\mathrm{n}+1}-\mathrm{a}_{\mathrm{n}+1} \mathrm{~b}_{\mathrm{n}}+2 \mathrm{~b}_{\mathrm{n}+1} \mathrm{~b}_{\mathrm{n}}=0$ 变形为 $\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}-\frac{a_{n}}{b_{n}}=2, c_{n+1}-c_{n}=2$ 所以数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 是以首项 $c_{1}=1$，公差 $d=2$ 的寺差数列，故 $c_{n}=2 n-1$．
②由 $b_{n}=3^{n-1}$ 知 $a_{n}=c_{n} b_{n}=(2 n-1) 3^{n-1}$，是等差乘令等，所以求和用错位相减法。
$$ S_{n}=1 \cdot 3^{0}+3 \cdot 3^{1}+\cdots+(2 n-1) \cdot 3^{n-1}, 3 S_{n}=1 \cdot 3^{1}+3 \cdot 3^{2}+\cdots+(2 n-1) \cdot 3^{n} $$
相减得 $-2 S_{n}=1+2 \cdot\left(3^{1}+3^{2} \cdots+3^{n-1}\right)-(2 n-1) \cdot 3^{n}=2-(2 n-2) \cdot 3^{n}$
所以 $S_{n}=(n-1) \cdot 3^{n}+1$．
试题解析：（1）因为 $a_{n} b_{n+1}-a_{n+1} b_{n}+2 b_{n+1} b_{n}=0, b_{n} \neq 0, n \in N^{+}$
所以 $\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}-\frac{a_{n}}{b_{n}}=2, c_{n+1}-c_{n}=2$
所以数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 是以首项 $c_{1}=1$，公差 $d=2$ 的等差数列，故 $c_{n}=2 n-1$．
②由 $b_{n}=3^{n-1}$ 知 $a_{n}=c_{n} b_{n}=(2 n-1) 3^{n-1}$
于是数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 前 n 项和 $S_{n}=1 \cdot 3^{0}+3 \cdot 3^{1}+\cdots+(2 n-1) \cdot 3^{n-1}$
$3 S_{n}=1 \cdot 3^{1}+3 \cdot 3^{2}+\cdots+(2 n-1) \cdot 3^{*}$
相减得 $-2 S_{n}=1+2 \cdot\left(3^{1}+3^{2} \cdots+3^{n-1}\right)-(2 n-1) \cdot 3^{n}=2-(2 n-2) \cdot 3^{n}$
所以 $S_{n}=(n-1) \cdot 3^{n}+1$．
考点：等差数列定义，错位相减求和