2020_北京卷 (2020)
13．已知正方形 $A B C D$ 的边长为 2 ，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{A P}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})$ ，则 $|\overrightarrow{P D}|=$ $\_\_\_\_$ ；
$\overrightarrow{P B} \cdot \overrightarrow{P D}=$ $\_\_\_\_$。
(1) $\sqrt{5}$; (2) -1
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】
①．$\sqrt{5}$
②．-1
【解析】
【分析】
以点 $A$ 为坐标原点，$A B , A D$ 所在直线分别为 $x , y$ 轴建立平面直角坐标系，求得点 $P$ 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得 $|\overrightarrow{P D}|$ 以及 $\overrightarrow{P B} \cdot \overrightarrow{P D}$ 的值．
【详解】以点 $A$ 为坐标原点，$A B , A D$ 所在直线分别为 $x , y$ 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点 $A(0,0) , B(2,0) , C(2,2) , D(0,2)$ ，
$\overrightarrow{A P}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})=\frac{1}{2}(2,0)+\frac{1}{2}(2,2)=(2,1)$,
则点 $P(2,1), \therefore \overrightarrow{P D}=(-2,1), \overrightarrow{P B}=(0,-1)$ ，
因此，$|\overrightarrow{P D}|=\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}, \overrightarrow{P B} \cdot \overrightarrow{P D}=0 \times(-2)+1 \times(-1)=-1$ ．
故答案为：$\sqrt{5} ;-1$ ．
【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点 $P$ 的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题．