平面向量的基本定理及坐标表示　·　历年高考数学真题与解析

3．已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a}+\vec{b}=(2,3), \vec{a}-\vec{b}=(-2,1)$ ，则 $|\vec{a}|^{2}-|\vec{b}|^{2}=$（ ）

10．在 $\triangle A B C$ 中，$A C=3, B C=4, \angle C=90^{\circ} . P$ 为 $\triangle A B C$ 所在平面内的动点，且 $P C=1$ ，则 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}$ 的取值范围是（）

13．已知正方形 $A B C D$ 的边长为 2 ，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{A P}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})$ ，则 $|\overrightarrow{P D}|=$ $\_\_\_\_$ ；
$\overrightarrow{P B} \cdot \overrightarrow{P D}=$ $\_\_\_\_$。

9．（5 分）设向量 $\vec{a}=(1,0), \vec{b}=(-1, m)$ ．若 $\vec{a} \perp(m \vec{a}-\vec{b})$ ，则 $m=$ $\_\_\_\_$ －1 ．

13。如图所示，直线 $\mathrm{x}=2$ 与双曲线 $\Gamma: \frac{\lambda^{2}}{4}-y^{2}=1$ 的渐近线交于 $E_{1}, E_{2}^{A}$ 两点，记
$\overrightarrow{O E_{1}}=\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{O E_{2}}=\overrightarrow{e_{2}}$ ，任取双曲线 $\Gamma$ 上的点 P ，若 $\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{a e_{1}},+\overrightarrow{b e_{2}}(a , b \in R)$ ，则 $\mathrm{a} , \mathrm{~b}$ 满足的一个等式是 $\_\_\_\_$ $4 \mathrm{ab}=1$

9．（2009 浙江理 9）过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右顶点 $A$ 作斜率为 -1 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 $B, C$ 。若 $\overrightarrow{A B}=\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}$ ，则双曲线的离心率是（）