三棱锥A-BCD中， A D = A B = A C =…——2026 高考数学第 14 题答案解析

【答案】 $S _ { \Delta B C D } = { \sqrt { 3 } } ; V = { \frac { 2 { \sqrt { 3 } } } { 3 } }$

【解析】解法(顶点投影到底面外心)先看底面 $\triangle B C D : B D = B C = 2 , D C = 2 \sqrt { 3 }$

由余弦定理 $\cos \angle D B C = \frac { B D ^ { 2 } + B C ^ { 2 } - D C ^ { 2 } } { 2 \cdot B D \cdot B C } = \frac { 4 + 4 - 1 2 } { 8 } = - \frac { 1 } { 2 } { \mathrm { ~ , ~ } } \angle D B C = 1 2 0 ^ { \circ } .$

$$ S _ { \triangle B C D } = \frac { 1 } { 2 } \cdot B D \cdot B C { \sin 1 2 0 ^ { \circ } } = \frac { 1 } { 2 } \cdot 2 \cdot 2 \cdot \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } = \sqrt { 3 } . $$

因A到B，C,D距离相等(均2√2)，A在底面的投影为 $\triangle B C D$ 的外心O，

外接圆半径 $R = { \frac { D C } { 2 \sin \angle D B C } } = { \frac { 2 { \sqrt { 3 } } } { 2 \sin 1 2 0 ^ { \circ } } } = { \frac { 2 { \sqrt { 3 } } } { \sqrt { 3 } } } = 2$ 高 $h = \sqrt { A B ^ { 2 } - R ^ { 2 } } = \sqrt { 8 - 4 } = 2 .$

故 $V = \frac { 1 } { 3 } S _ { \Delta B C D } \cdot h = \frac { 1 } { 3 } \cdot \sqrt { 3 } \cdot 2 = \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 }$

【背景深挖】“三侧棱等长”等价于顶点A落在底面外接圆轴线上，这与“正三棱锥”“圆锥”的对称结构一脉相承。一般地，点A到平面上三点等距 $\Leftrightarrow A$ 在该三点外接圆的中垂线(轴线)上一一这是球面与外接圆关系的直接推论，也是空间解析几何中“球心定位”的常用手段。