设 O 为坐标原点， P 是以 F 为焦点的抛物线 y^…——2016 高考数学第 8 题答案解析

【答案】C
【解析】
试题分析：设 $P\left(2 p t^{2}, 2 p t\right), M(x, y)$（不妨设 $t>0$ ），则 $\overrightarrow{F P}=\left(2 p t^{2}-\frac{p}{2}, 2 p t\right)$ 。由已知得
$\overrightarrow{F M}=\frac{1}{3} \overrightarrow{F P}, \quad \therefore\left\{\begin{array}{l}x-\frac{p}{2}=\frac{2 p}{3} t^{2}-\frac{p}{6} \\ y=\frac{2 p t}{3}\end{array}, \quad \therefore\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2 p}{3} t^{2}+\frac{p}{3} \\ y=\frac{2 p t}{3}\end{array}, \quad \therefore k_{O M}=\frac{2 t}{2 t^{2}+1}=\frac{1}{t+\frac{1}{2 t}} \leq \frac{1}{2 \sqrt{\frac{1}{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\right.\right.$ ，
$\therefore\left(k_{O M}\right)_{\text {max }}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，故选 C．
考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用．
【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点 $P$ 的坐标，

利用向量法求出点 $M$ 的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把 $k$ 斜率用参数 $t$表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值。