已知抛物线 C: y^ 2 =2 p x(p>0) 的焦点…——2021 高考数学第 20 题答案解析

答案：
见解析
解析：
①由焦点到准线的距离为 $p$ ，则 $p=2$ ．
抛物线 $c$ 的方程：$y^{2}=4 x$ ．
②设点 $P\left(\frac{y_{0}^{2}}{4}, y_{0}\right), Q\left(x_{Q}, y_{Q}\right), F(1,0)$ ．
$\because \overrightarrow{P Q}=9 \overrightarrow{Q F}$.
$\therefore\left(x_{Q}-\frac{y_{0}^{2}}{4}, y_{Q}-y_{0}\right)=9\left(1-x_{Q},-y_{Q}\right) \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_{Q}-\frac{y_{0}^{2}}{4}=9-9 x_{Q} \\ y_{Q}-y_{0}=-9 x_{Q}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_{Q}=\frac{9+\frac{y_{0}^{2}}{4}}{10} \\ y_{Q}=\frac{y_{0}}{10}\end{array}\right.\right.$
则 $k_{O Q}=\frac{y_{Q}}{x_{Q}}=\frac{y_{0}}{9+\frac{y_{0}^{2}}{4}}=\frac{1}{\frac{9}{y_{0}}+\frac{y_{0}}{4}} \leq \frac{1}{2 \sqrt{\frac{9}{4}}}=\frac{1}{3}$ ．

∴ 直线 $O Q$ 斜率的最大值为 $\frac{1}{3}$ ．