若双曲线 x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2 =1…——2008 高考数学第 10 题答案解析

【解答】
若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（）
A．$(1, \sqrt{2}]$
B．$[\sqrt{2},+\infty)$
C．$(1, \sqrt{2}+1]$
D．$[\sqrt{2}+1,+\infty)$

【答案】C
【解析】 $\because e x_{0}-a=x_{0}+\frac{a^{2}}{c} \Rightarrow(e-1) x_{0}=\frac{a^{2}}{c}+a \Rightarrow \frac{a^{2}}{c}+a \geq(e-1) a$ ，

$$ \therefore e-1 \leq 1+\frac{a}{c}=1+\frac{1}{e}, \Rightarrow e^{2}-2 e-1 \leq 0, \Rightarrow 1-\sqrt{2} \leq e \leq 1+\sqrt{2}, $$

而双曲线的离心率 $e>1, \therefore e \in(1, \sqrt{2}+1]$ ，故选 C ．

二．填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填在横

线上。