【答案】（1）$a_{n}=6 n-5$（2）详见解析③$\left(-\frac{1}{2}, 0\right)$
【解析】解：（1）由 $b_{n+1}-b_{n}=3$，得 $a_{n+1}-a_{n}=6$，
所以 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 1，公差为 6 的等差数列，
故 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=6 n-5, n \in \mathrm{~N}^{*}$．
证明：②由 $a_{n+1}-a_{n}=2\left(b_{n+1}-b_{n}\right)$，得 $a_{n+1}-2 b_{n+1}=a_{n}-2 b_{n}$．
所以 $\left\{a_{n}-2 b_{n}\right\}$ 为常数列，$a_{n}-2 b_{n}=a_{1}-2 b_{1}$，即 $a_{n}=2 b_{n}+a_{1}-2 b_{1}$．
因为 $a_{n_{0}} \geq a_{n}, n \in \mathrm{~N}^{*}$，所以 $2 b_{n_{0}}+a_{1}-2 b_{1} \geq 2 b_{n}+a_{1}-2 b_{1}$，即 $b_{n_{0}} \geq b_{n}$．
故 $\left\{b_{n}\right\}$ 的第 $n_{0}$ 项是最大项．
解：（3）因为 $b_{n}=\lambda^{n}$，所以 $a_{n+1}-a_{n}=2\left(\lambda^{n+1}-\lambda^{n}\right)$，
当 $n \geq 2$ 时，$a_{n}=\left(a_{n}-a_{n-1}\right)+\left(a_{n-1}-a_{n-2}\right)+\cdots+\left(a_{2}-a_{1}\right)+a_{1}$
$$
\begin{aligned}
& =2\left(\lambda^{n}-\lambda^{n-1}\right)+2\left(\lambda^{n-1}-\lambda^{n-2}\right)+\cdots+2\left(\lambda^{2}-\lambda\right)+\lambda \\
& =2 \lambda^{n}-\lambda
\end{aligned}
$$
当 $n=1$ 时，$a_{1}=\lambda$，符合上式．
所以 $a_{n}=2 \lambda^{n}-\lambda$．
因为 $\lambda>0$，所以 $a_{2 n}=2|\lambda|^{2 n}-\lambda>-\lambda, a_{2 n-1}=2|\lambda|^{2 n-1}-\lambda<-\lambda$．
①当 $\lambda<-1$ 时，由指数函数的单调性知，$\left\{a_{n}\right\}$ 不存在最大、最小值；
②当 $\lambda=-1$ 时，$\left\{a_{n}\right\}$ 的最大值为 3，最小值为 -1，而 $\frac{3}{-1} \notin(-2,2)$；
（3）当 $-1<\lambda<0$ 时，由指数函数的单调性知，$\left\{a_{n}\right\}$ 的最大值 $\mathrm{M}=a_{2}=2 \lambda^{2}-\lambda$，最小值 $m=a_{1}=\lambda$，由 $-2<\frac{2 \lambda^{2}-\lambda}{\lambda}<2$ 及 $-1<\lambda<0$，得 $-\frac{1}{2}<\lambda<0$．
综上，$\lambda$ 的取值范围是 $\left(-\frac{1}{2}, 0\right)$．
【考点定位】等差数列，数列单调性