【解答】
设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F$ ，左顶点为 $A$ ，顶点为 $B$ 。已知 $\sqrt{3}|O A|=2|O B|$（ $O$ 为原点）
（I）求椭圆的离心率；
（II）设经过点 $F$ 且斜率为 $\frac{3}{4}$ 的直线 $l$ 与椭圆在 $x$ 轴上方的交点为 $P$ ，圆 $C$ 同时与 $x$ 轴和直线 $l$ 相切，圆心 $C$ 在直线 $x=4$ 上，且 $O C / / A P$ ，求椭圆的方程．
【答案】（1）首先设椭圆的半焦距为 $c$ ，根据题意得到 $\sqrt{3} a=2 b$ ，结合椭圆中 $a, b, c$ 的关系，得到 $a^{2}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2} a\right)^{2}+c^{2}$ ，化简得出 $\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$ ，从而求得其离心率；
（II）结合（I）的结论，设出椭圆的方程 $\frac{x^{2}}{4 c^{2}}+\frac{y^{2}}{3 c^{2}}=1$ ，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得 $c=2$ ，从而得到椭圆的方程．
## 【解析】
【分析】
（I）$\frac{1}{2}$ ；
（II）$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$ ．
【详解】（1）解：设椭圆的半焦距为 $c$ ，由已知有 $\sqrt{3} a=2 b$ ，
又由 $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ ，消去 $b$ 得 $a^{2}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2} a\right)^{2}+c^{2}$ ，解得 $\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$ ，
所以，椭圆的离心率为 $\frac{1}{2}$ ．
（II）解：由（I）知，$a=2 c, b=\sqrt{3} c$ ，故椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{4 c^{2}}+\frac{y^{2}}{3 c^{2}}=1$ ，
由题意，$F(-c, 0)$ ，则直线 $l$ 的方程为 $y=\frac{3}{4}(x+c)$ ，
点 $P$ 的坐标满足 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}}{4 c^{2}}+\frac{y^{2}}{3 c^{2}}=1 \\ y=\frac{3}{4}(x+c)\end{array}\right.$ ，消去 $y$ 并化简，得到 $7 x^{2}+6 c x-13 c^{2}=0$ ，
解得 $x_{1}=c, x_{2}=-\frac{13 c}{7}$ ，
代入到 $l$ 的方程，解得 $y_{1}=\frac{3}{2} c, y_{2}=-\frac{9}{14} c$ ，
因为点 $P$ 在 $x$ 轴的上方，所以 $P\left(c, \frac{3}{2} c\right)$ ，
由圆心在直线 $x=4$ 上，可设 $C(4, t)$ ，因为 $O C / / A P$ ，
且由（1）知 $A(-2 c, 0)$ ，故 $\frac{t}{4}=\frac{\frac{3}{2} c}{c+2 c}$ ，解得 $t=2$ ，
因为圆 $C$ 与 $x$ 轴相切，所以圆的半径为 2 ，
又由圆 $C$ 与 $l$ 相切，得 $\frac{\left|\frac{3}{4}(4+c)-2\right|}{\sqrt{1+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}}}=2$ ，解得 $c=2$ ，
所以椭圆的方程为：$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$ ．
【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力。