19.
设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F$ ，左顶点为 $A$ ，顶点为 $B$ 。已知 $\sqrt{3}|O A|=2|O B|$（ $O$ 为原点）
（I）求椭圆的离心率；
（II）设经过点 $F$ 且斜率为 $\frac{3}{4}$ 的直线 $l$ 与椭圆在 $x$ 轴上方的交点为 $P$ ，圆 $C$ 同时与 $x$ 轴和直线 $l$ 相切，圆心 $C$ 在直线 $x=4$ 上，且 $O C / / A P$ ，求椭圆的方程．
参考答案
（1）首先设椭圆的半焦距为 $c$ ，根据题意得到 $\sqrt{3} a=2 b$ ，结合椭圆中 $a, b, c$ 的关系，得到 $a^{2}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2} a\right)^{2}+c^{2}$ ，化简得出 $\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$ ，从而求得其离心率； （II）结合（I）的结论，设出椭圆的方程 $\frac{x^{2}}{4 c^{2}}+\frac{y^{2}}{3 c^{2}}=1$ ，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得 $c=2$ ，从而得到椭圆的方程． ##