2011_天津卷 (2011·文)
18．（本小题满分 13 分）
设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $\mathrm{F}_{1}, \mathrm{~F}_{2}$ 。点 $P(a, b)$ 满足
$$ \left|P F_{2}\right|=\left|F_{1} F_{2}\right| $$
（I）求椭圆的离心率 $e$ ；
（II）设直线 $\mathrm{PF}_{2}$ 与椭圆相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，若直线 $\mathrm{PF}_{2}$ 与圆 $(x+1)^{2}+(y-\sqrt{3})^{2}=16$ 相交于 M ，N两点，且 $|M N|=\frac{5}{8}|A B|$ ，求椭圆的方程
【解答】
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力，满分 13 分。
（I）解：设 $F_{1}(-c, 0), F_{2}(c, 0)(c>0)$ ，因为 $\left|P F_{2}\right|=\left|F_{1} F_{2}\right|$ ，所以 $\sqrt{(a-c)^{2}+b^{2}}=2 c$ ，整理得 $2\left(\frac{c}{a}\right)^{2}+\frac{c}{a}-1=0$ ，得 $\frac{c}{a}=-1$（舍）或 $\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$ ，所以 $e=\frac{1}{2}$ ．
（II）解：由（I）知 $a=2 c, b=\sqrt{3} c$ ，可得椭圆方程为 $3 x^{2}+4 y^{2}=12 c^{2}$ ，直线 $\mathrm{FF}_{2}$的方程为 $y=\sqrt{3}(x-c)$ ．
$\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点的坐标满足方程组 $\left\{\begin{array}{l}3 x^{2}+4 y^{2}=12 c^{2}, \\ y=\sqrt{3}(x-c) .\end{array}\right.$ 消去 $y$ 并整理，得 $5 x^{2}-8 c x=0$ 。解得 $x_{1}=0, x_{2}=\frac{8}{5} c$ ，得方程组的解 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}=0, \\ y_{1}=-\sqrt{3} c,\end{array}\left\{\begin{array}{l}x_{2}=\frac{8}{5} c, \\ y_{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{5} c .\end{array}\right.\right.$
不妨设 $A\left(\frac{8}{5} c, \frac{3 \sqrt{3}}{5} c\right), B(0,-\sqrt{3} c)$ ，所以
$$ |A B|=\sqrt{\left(\frac{8}{5} c\right)^{2}+\left(\frac{3 \sqrt{3}}{5} c+\sqrt{3} c\right)^{2}}=\frac{16}{5} c . $$
于是 $|M N|=\frac{5}{8}|A B|=2 c$ ．
圆心 $(-1, \sqrt{3})$ 到直线 $\mathrm{PF}_{2}$ 的距离 $d=\frac{|-\sqrt{3}-\sqrt{3}-\sqrt{3} c|}{2}=\frac{\sqrt{3}|2+c|}{2}$ ．
因为 $d^{2}+\left(\frac{|M N|}{2}\right)^{2}=4^{2}$ ，所以 $\frac{3}{4}(2+c)^{2}+c^{2}=16$ ．
整理得 $7 c^{2}+12 c-52=0$ ，得 $c=-\frac{26}{7}$（舍），或 $c=2$ ．所以椭圆方程为
$$ \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1 $$