（5分）已知圆 O 的半径为 1, PA、 ~PB 为该圆…——2010 高考数学第 11 题答案解析

$\angle \mathrm{APO}=\alpha$ ，则 $\angle \mathrm{APB}=2 \alpha$ ，
$\sin \alpha=\frac{1}{\mathrm{x}}$,
$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=|\overrightarrow{\mathrm{PA}}| \cdot|\overrightarrow{\mathrm{PB}}| \cos 2 \alpha$
$=\sqrt{x^{2}-1} \times \sqrt{x^{2}-1}\left(1-2 \sin ^{2} \alpha\right)$
$=\left(x^{2}-1\right)\left(1-\frac{2}{x^{2}}\right)=\frac{x^{4}-3 x^{2}+2}{x^{2}}$
$=x^{2}+\frac{2}{x^{2}}-3 \geq 2 \sqrt{2}-3$ ，
∴ 当且仅当 $\mathrm{x}^{2}=\sqrt{2}$ 时取＂$=$＂，故 $\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}-3$ ．
故选：D．

【点评】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法－－判别式法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力。