（本小题满分 14 分） 设 A 是单位圆 x^ 2 +y…——2012 高考数学第 21 题答案解析

【解析】（I）如图1，设 $M(x, y), A\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，则由 $|D M|=m|D A|(m>0$ ，且 $m \neq 1)$ ，
可得 $x=x_{0},|y|=m\left|y_{0}\right|$ ，所以 $x_{0}=x,\left|y_{0}\right|=\frac{1}{m}|y|$ ．

因为 $A$ 点在单位圆上运动，所以 $x_{0}{ }^{2}+y_{0}{ }^{2}=1$ ．

将①式代入②式即得所求曲线 $C$ 的方程为 $x^{2}+\frac{y^{2}}{m^{2}}=1(m>0$ ，且 $m \neq 1)$ ．
因为 $m \in(0,1) \cup(1,+\infty)$ ，所以
当 $0两焦点坐标分别为 $\left(-\sqrt{1-m^{2}}, 0\right),\left(\sqrt{1-m^{2}}, 0\right)$ ；
当 $m>1$ 时，曲线 $C$ 是焦点在 $y$ 轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为 $\left(0,-\sqrt{m^{2}-1}\right),\left(0, \sqrt{m^{2}-1}\right)$ ．

图 1

图）（ $0

图 $2(m>1)$

第 21 题解答图
（II）解法 1：如图 2、3，$\forall k>0$ ，设 $P\left(x_{1}, k x_{1}\right), H\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，则 $Q\left(-x_{1},-k x_{1}\right), N\left(0, k x_{1}\right)$ ，直线 $Q N$ 的方程为 $y=2 k x+k x_{1}$ ，将其代入椭圆 $C$ 的方程并整理可得 $\left(m^{2}+4 k^{2}\right) x^{2}+4 k^{2} x_{1} x+k^{2} x_{1}^{2}-m^{2}=0$.
依题意可知此方程的两根为 $-x_{1}, x_{2}$ ，于是由韦达定理可得 $-x_{1}+x_{2}=-\frac{4 k^{2} x_{1}}{m^{2}+4 k^{2}}, ~$ 即 $x_{2}=\frac{m^{2} x_{1}}{m^{2}+4 k^{2}}$.

因为点 $H$ 在直线 $Q N$ 上，所以 $y_{2}-k x_{1}=2 k x_{2}=\frac{2 k m^{2} x_{1}}{m^{2}+4 k^{2}}$ ．
于是 $\overrightarrow{P Q}=\left(-2 x_{1},-2 k x_{1}\right), \overrightarrow{P H}=\left(x_{2}-x_{1}, y_{2}-k x_{1}\right)=\left(-\frac{4 k^{2} x_{1}}{m^{2}+4 k^{2}}, \frac{2 k m^{2} x_{1}}{m^{2}+4 k^{2}}\right)$ ．
而 $P Q \perp P H$ 等价于 $\overrightarrow{P Q} \cdot \overrightarrow{P H}=\frac{4\left(2-m^{2}\right) k^{2} x_{1}^{2}}{m^{2}+4 k^{2}}=0$ ，
即 $2-m^{2}=0$ ，又 $m>0$ ，得 $m=\sqrt{2}$ ，
故存在 $m=\sqrt{2}$ ，使得在其对应的椭圆 $x^{2}+\frac{y^{2}}{2}=1$ 上，对任意的 $k>0$ ，都有 $P Q \perp P H$.

解法 2：如图 2、 $3, \forall x_{1} \in(0,1)$ ，设 $P\left(x_{1}, y_{1}\right), H\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，则 $Q\left(-x_{1},-y_{1}\right), N\left(0, y_{1}\right)$ ，因为 $P, H$ 两点在椭圆 $C$ 上，所以 $\left\{\begin{array}{l}m^{2} x_{1}{ }^{2}+y_{1}{ }^{2}=m^{2} \\ m^{2} x_{2}{ }^{2}+y_{2}{ }^{2}=m^{2}\end{array}\right.$ 两式相减可得 $m^{2}\left(x_{1}{ }^{2}-x_{2}{ }^{2}\right)+\left(y_{1}{ }^{2}-y_{2}{ }^{2}\right)=0$.

依题意，由点 $P$ 在第一象限可知，点 $H$ 也在第一象限，且 $P, H$ 不重合，故 $\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(x_{1}+x_{2}\right) \neq 0$ ．于是由（3）式可得 $\frac{\left(y_{1}-y_{2}\right)\left(y_{1}+y_{2}\right)}{\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(x_{1}+x_{2}\right)}=-m^{2}$ ．

又 $Q, N, H$ 三点共线，所以 $k_{Q N}=k_{Q H}$ ，即 $\frac{2 y_{1}}{x_{1}}=\frac{y_{1}+y_{2}}{x_{1}+x_{2}}$ ．
于是由（4）式可得 $k_{P Q} \cdot k_{P H}=\frac{y_{1}}{x_{1}} \cdot \frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{1}{2} \cdot \frac{\left(y_{1}-y_{2}\right)\left(y_{1}+y_{2}\right)}{\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(x_{1}+x_{2}\right)}=-\frac{m^{2}}{2}$ ．
而 $P Q \perp P H$ 等价于 $k_{P Q} \cdot k_{P H}=-1$ ，即 $-\frac{m^{2}}{2}=-1$ ，又 $m>0$ ，得 $m=\sqrt{2}$ ，
故存在 $m=\sqrt{2}$ ，使得在其对应的椭圆 $x^{2}+\frac{y^{2}}{2}=1$ 上，对任意的 $k>0$ ，都有 $P Q \perp P H$ ．
【考点定位】本小题考查直线与圆以及圆锥曲线等基础知识，考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等数学思想方法，考查同学们分析问题和解决问题的能力。