（5分）已知 F_ 1 , F_ 2 是双曲线 E: x^…——2016 高考数学第 11 题答案解析

【考点】KC：双曲线的性质．
【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】由条件 $M F_{1} \perp M F_{2}, \sin \angle M F_{2} F_{1}=\frac{1}{3}$ ，列出关系式，从而可求离心率．

【解答】解：由题意， M 为双曲线左支上的点，
则 $\left|M F_{1}\right|=\frac{b^{2}}{a},\left|M F_{2}\right|=\sqrt{4 c^{2}+\left(\frac{b^{2}}{a}\right)^{2}}$ ，
$\therefore \sin \angle \mathrm{MF}_{2} \mathrm{~F}_{1}=\frac{1}{3}, \therefore \frac{\frac{\mathrm{~b}^{2}}{\mathrm{a}}}{\sqrt{4 \mathrm{c}^{2}+\frac{\mathrm{b}^{4}}{\mathrm{a}^{2}}}}=\frac{1}{3}$ ，
可得： $2 b^{4}=a^{2} c^{2}$ ，即 $\sqrt{2} b^{2}=a c$ ，又 $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ ，
可得 $\sqrt{2} \mathrm{e}^{2}-\mathrm{e}-\sqrt{2}=0$ ，
$e>1$ ，解得 $e=\sqrt{2}$ ．
故选：A．

【点评】本题考查双曲线的定义及离心率的求解，关键是找出几何量之间的关系，考查数形结合思想，属于中档题．