(12分)某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大…——2011 高考数学第 19 题答案解析

2011_老新课标卷 (2011·文)

2011 全国 第 19 题 解答题 区分题
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19.(12分)某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验,各生产了 100 件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果:

A配方的频数分布表

指标值分组 $\quad[90,94)$$[94,98)$$[98,102)$$[102,106)$$[106,110]$
频数82042228

B配方的频数分布表

指标值分组$[90,94)$$[94,98)$$[98,102)$$[102,106)$$[106,110]$
频数412423210

(I)分别估计用A配方,B配方生产的产品的优质品率;
(II)已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y (单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为 $\mathrm{y}= \begin{cases}-2, & t<94 \\ 2, & 94 \leqslant t<102 \\ 4, & t \geqslant 102\end{cases}$

从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X (单位:元),求 X 的分布列及数学期望。(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)

完整解析 · 逐步详解

【考点】B2:简单随机抽样;BB:众数、中位数、平均数;CH:离散型随机变量的期望与方差.

【专题】11:计算题;15:综合题.
【分析】(I)根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数,两个求比值,得到用两种配方的产品的优质品率的估计值.
(II)根据题意得到变量对应的数字,结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率,写出分布列和这组数据的期望值.

【解答】解:(I )由试验结果知,用A配方生产的产品中优质的频率为 $\frac{22+8}{100}=0.3$
∴ 用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.
由试验结果知,用B配方生产的产品中优质品的频率为 $\frac{32+10}{100}=0.42$
∴ 用B配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42 ;
(II)用B配方生产的 100 件产品中,其质量指标值落入区间
$[90,94),[94,102),[102,110]$ 的频率分别为 $0.04,0.54,0.42$ , $\therefore \mathrm{P}(\mathrm{X}=-2)=0.04, \mathrm{P}(\mathrm{X}=2)=0.54, \mathrm{P}(\mathrm{X}=4)=0.42$ ,

即 $x$ 的分布列为

$X$-224
$P$0.040.540.42

$\therefore \mathrm{X}$ 的数学期望值 $\mathrm{EX}=-2 \times 0.04+2 \times 0.54+4 \times 0.42=2.68$
【点评】本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用,考查频数,频率和样本容量之间的关系,考查离散型随机变量的分布列和期望,本题是一个综合问题

✅ 来源:2011年 · 全国 · 2011_老新课标卷 (2011·文) · 第 19 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验

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