函数模型及其应用　·　历年高考数学真题与解析

10．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级 $L_{p}=20 \times \lg \frac{p}{p_{0}}$ ，其中常数 $p_{0}\left(p_{0}>0\right)$ 是听觉下限间值，$p$ 是实际声压．下表为不同声源的声压级：

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 10 m 处测得实际声压分别为 $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ ，则（ ）。

19．有一条长为 120 米的步行道 $OA$，$A$ 是垃圾投放点 $\omega_1$，若以 $O$ 为原点，$OA$ 为 $x$ 轴正半轴建立直角坐标系，设点 $B(x,0)$，现要建设另一座垃圾投放点 $\omega_2(t,0)$，函数 $f_t(x)$ 表示与 $B$ 点距离最近的垃圾投放点的距离.
（1）若 $t = 60$，求 $f_{60}(10)$、$f_{60}(80)$、$f_{60}(95)$ 的值，并写出 $f_{60}(x)$ 的函数解析式；
（2）若可以通过 $f_t(x)$ 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利.
问：垃圾投放点 $\omega_2$ 建在何处才能比建在中点时更加便利？

3．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成 1200 份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压。为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。已知该超市某日积压 500 份订单未配货，预计第二天的新订单超过 1600 份的概率为 0.05 ，志愿者每人每天能完成 50 份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95 ，则至少需要志愿者

4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 $I(t)\left(t\right.$ 的单位：天）的Logistic模型：$I(t)=\frac{K}{1+\mathrm{e}^{-0.23(t-53)}}$ ，其中 $K$ 为最大确诊病例数．当 $I\left(t^{*}\right)=0.95 K$ 时，标志着已初步遏制疫情，则 $t^{*}$ 约为 $(\ln 19 \approx 3)$

4．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成 1200 份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压 500 份订单未配货，预计第二天的新订单超过 1600 份的概率为 0.05 ，志愿者每人每天能完成 50 份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95 ，则至少需要志愿者

6．基本再生数 $R_{0}$ 与世代间隔 $T$ 是新冠肺炎的流行病学基本参数。基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间。在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：$I(t)=\mathrm{e}^{r t}$ 描述累计感染病例数 $I(t)$ 随时间 $t$（单位：天）的变化规律，指数增长率 $r$ 与 $R_{0}$ ，$T$ 近似满足 $R_{0}$
$=1+r T$ ．有学者基于已有数据估计出 $R_{0}=3.28, T=6$ ．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1倍需要的时间约为 $(\ln 2 \approx 0.69)$

6．基本再生数 $R_{0}$ 与世代间隔 $T$ 是新冠肺炎的流行病学基本参数。基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间。在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：$I(t)=\mathrm{e}^{r t}$ 描述累计感染病例数 $I(t)$ 随时间 $t$（单位：天）的变化规律，指数增长率 $r$ 与 $R_{0}$ ，$T$ 近似满足 $R_{0}$

$=1+r T$ ．有学者基于已有数据估计出 $R_{0}=3.28, T=6$ ．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1倍需要的时间约为 $(\ln 2 \approx 0.69)$

4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
（ $\frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0.618$ ，称为黄金分割比例），著名的＂断臂维纳斯＂便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ ．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm ，头顶至脖子下端的长度为 26 cm ，则其身高可能是

4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ （ $\frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0.618$ ，称为黄金分割比例），著名的＂断臂维纳斯＂便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 。若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm ，头顶至脖子下端的长度为 26 cm ，则其身高可能是

6．（5 分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足 $m_{2}-m_{1}=\frac{5}{2} l g \frac{\mathrm{E}_{1}}{\mathrm{E}_{2}}$ ，其中星等为 $m_{k}$ 的星的亮度为 $E_{k}(k=1,2)$ ．已知太阳的星等是 26．7，天狼星的星等是 -1.45 ，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）

7．（5 分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足 $m_{2}-m_{1}=\frac{5}{2} l g \frac{\mathrm{E}_{1}}{\mathrm{E}_{2}}$ ，其中星等为 $m_{k}$ 的星的亮度为 $E_{k}(k=1,2)$ ．已知太阳的星等是 26．7，天狼星的星等是 -1.45 ，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）

12．如图，正方形 ABCD 的边长为 20 米，圆 O 的半径为 1 米，圆心是正方形的中心，点 $\mathrm{P} , \mathrm{Q}$ 分别在线段 $\mathrm{AD} , \mathrm{CB}$ 上，若线段 PQ 与圆 O 有公共点，则称点 Q 在点 P 的＂盲区＂中，已知点 P 以 1.5 米／秒的速度从 A 出发向 D 移动，同时，点 Q 以 1 米／秒的速度从 C 出发向 B 移动，则在点 P 从 A 移动到 D 的

12题图

过程中，点 Q 在点 P 的盲区中的时长约为 $\_\_\_\_$秒（精确到 0.1 ）

7．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司 2015 年全年投入研发资金 13.0 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 $12 \%$ ，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 （参考数据： $1 \mathrm{~g} 1.12=0.05,1 \mathrm{~g} 1.3=0.11,1 \mathrm{~g} 2=0.30$ ）

13．某食品的保鲜时间 $y$（单位：小时）与储存温度 x （单位：${ }^{\circ} C$ ）满足函数关系 $y=e^{k x+b}(e=2.718 \cdots$ 为自然对数的底数，$k, b$ 为常数）。若该食品在 $0^{\circ} C$ 的保鲜时间设计192小时，在 $22^{\circ} C$ 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 $33^{\circ} \mathrm{C}$ 的保鲜时间是 $\_\_\_\_$小时．

20、（本题满分 14 分）本题共有 2 小题，第小题满分 6 分，第小题满分 8 分如图， $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 三地有直道相通， $\mathrm{AB}=5$ 千米， $\mathrm{AC}=3$ 千米， $\mathrm{BC}=4$ 千米．现甲、乙两警员同时从 A 地出发匀速前往 B 地，经过 $t$ 小时，他们之间的距离为 $f(t)$（单位：千米）．甲的路线是 AB ，速度为 5 千米／小时，乙的路线是 ACB ，速度为 8 千米／小时．乙到达 B 地后原地等待。设 $t=t_{1}$ 时乙到达 C 地。 。

（1）求 $t_{1}$ 与 $f\left(t_{1}\right)$ 的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米．当 $t_{1} \leq t \leq 1$ 时，求 $f(t)$ 的表达式，并判断 $f(t)$ 在 $\left[t_{1}, 1\right]$ 上得最大值是否超过 3 ？说明理由．

8、某食品的保鲜时间 $y$（单位：小时）与储藏温度 $x$（单位：${ }^{\circ} \mathrm{C}$ ）满足函数关系 $y=e^{k x+b}(e=2.718 \ldots$ 为自然对数的底数，$k, b$ 为常数）．若该食品在 $0{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 的保鲜时间是 192 小时，在 $22{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 $33^{\circ} \mathrm{C}$ 的保鲜时间是

8．（5 分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为＂可食用率＂，在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t （单位：分钟）满足函数关系 $p=a t^{2}+b t+c$（a，b，c 是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）

8．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为 $p$ ，第二年的增长率为 $q$ ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）

7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 $v(t)=7-3 t+\frac{25}{1+t}(t$ 的单位：$s, v$ 的单位：$m / s$ ）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：$m$ ）是

17．（本小题满分 14 分）
如图，建立平面直角坐标系 $x O y, x$ 轴在地平面上，$y$ 轴垂直于地平面，单位长度为 1 千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程 $y=k x-\frac{1}{20}\left(1+k^{2}\right) x^{2}(k>0)$ 表示的曲线上，其中 $k$ 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
②设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标 $a$ 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

17．（本小题满分14分）

请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设 $A E = F B = x ( \mathrm { c m } )$

（1）某广告商要求包装盒的侧面积S（cm²）最大，试问x应取何值？

（2）某厂商要求包装盒的容积 $V ~ ( \mathrm { c m } ^ { 3 } )$ 最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值

10．已知一种材料的最佳加入量在100g到200g之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是______g

9．已知一种材料的最佳加入量在 110 g 到 210 g 之间．若用 0.618 法安排实验，则

图1

第一次试点的加入量可以是 $\_\_\_\_$ g．