函数与方程　·　历年高考数学真题与解析

7．函数 $f(x)=0.3^{x}-\sqrt{x}$ 的零点所在区间是

11．设函数 $f(x)=2 x^{3}-3 a x^{2}+1$ ，则 ()

14．曲线 $y=x^{3}-3 x$ 与 $y=-(x-1)^{2}+a$ 在 $(0,+\infty)$ 上有两个不同的交点，则 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$。

15．若函数 $f(x)=2 \sqrt{x^{2}-a x}-|a x-2|+1$ 有唯一零点，则 $a$ 的取值范围为

6．设函数 $f(x)=a(x+1)^{2}-1, g(x)=\cos x+2 a x$ ，当 $x \in(-1,1)$ 时，曲线 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 恰有一个交点，则 $a=$（ ）

12．函数 $y=f(x)$ 的图象由 $y=\cos \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度得到，则 $y=f(x)$ 的图象与直线 $y=\frac{1}{2} x-\frac{1}{2}$ 的交点个数为（ ）

15．若函数 $f(x)=a x^{2}-2 x-\left|x^{2}-a x+1\right|$ 有且仅有两个零点，则 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$ ．

15．已知函数 $f(x)=\cos \omega x-1(\omega>0)$ 在区间 $[0,2 \pi]$ 有且仅有 3 个零点，则 $\omega$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$。

10．已知函数 $f(x)=x^{3}-x+1$ ，则（ ）

15．设 $a \in \mathbf{R}$ ，对任意实数 x ，记 $f(x)=\min \left\{|x|-2, x^{2}-a x+3 a-5\right\}$ ．若 $f(x)$ 至少有 3 个零点，则实数 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$ ．

15．若曲线 $y=(x+a) \mathrm{e}^{x}$ 有两条过坐标原点的切线，则 $a$ 的取值范围是
$\_\_\_\_$ ．

8．如图是下列四个函数中的某个函数在区间 $[-3,3]$ 的大致图像，则该函数是（ ）

15．已知函数 $f(x)=|\lg x|-k x-2$ ，给出下列四个结论：
①若 $k=0$ ，则 $f(x)$ 有两个零点；
②$\exists k<0$ ，使得 $f(x)$ 有一个零点；
③$\exists k<0$ ，使得 $f(x)$ 有三个零点；
④$\exists k>0$ ，使得 $f(x)$ 有三个零点。
以上正确结论得序号是 $\_\_\_\_$ ．

9.

设 $a \in \mathbf{R}$ ，函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\cos (2 \pi x-2 \pi a) . & x<a \\ x^{2}-2(a+1) x+a^{2}+5, & x \geq a\end{array}\right.$ ，若 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内恰有6个零点，则 $a$ 的取值范围是（ ）

12. 已知 $f ( x ) = { \sqrt { x - 1 } }$ ，其反函数为 $\left. \vert f ^ { - 1 } ( x ) \right.$ ，若 $f ^ { - 1 } \left( x \right) - a = f \left( x + a \right)$ 有实数根，则a的取值范围为

二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

14．设 $f(x), g(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的两个周期函数，$f(x)$ 的周期为 $4, g(x)$ 的周期为 2 ，且 $f(x)$ 是奇函数．
当 $x \in(0,2]$ 时，$f(x)=\sqrt{1-(x-1)^{2}}, g(x)=\left\{\begin{array}{l}k(x+2), 0<x \leq 1 \\ -\frac{1}{2}, 1<x \leq 2\end{array}\right.$ ，其中 $k>0$ 。若在区间 $(0,9]$ 上，关
于 $x$ 的方程 $f(x)=g(x)$ 有 8 个不同的实数根，则 $k$ 的取值范围是 $\boldsymbol{\Delta}$ ．

5．函数 $f(x)=2 \sin x-\sin 2 x$ 在 $[0,2 \pi]$ 的零点个数为

7．已知函数 $f(x)=A \sin (\omega x+\varphi)(A>0, \omega>0,|\varphi|<\pi)$ 是奇函数，且 $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$ ，将 $y=f(x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 $g(x)$ ．若

$g\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}$ ，则 $f\left(\frac{3 \pi}{8}\right)=$

9．已知 $a, b \in R$, 函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, x<0 \\ \frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{2}(a+1) x^{2}+a x, x \geq 0\end{array}\right.$ ，若函数 $y=f(x)-a x-b$ 恰有三个零点，则

11．若函数 $f(x)=2 x^{3}-a x^{2}+1(a \in \mathbf{R})$ 在 $(0,+\infty)$ 内有且只有一个零点，则 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的最大值与最小值的和为 $\_\_\_\_$ ．

11．（6 分）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：＂今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？＂设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为 $x, y, z$ ，则 $\left\{\begin{array}{l}x+y+z=100 \\ 5 x+3 y+\frac{1}{3} z=100\end{array}\right.$ ，当 $z=81$ 时，$x=8, y=11$ 。

13．（5分）已知函数 $f(x)=\log _{2}\left(x^{2}+a\right)$ ，若 $f(3)=1$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ －7 ．

15．（6 分）已知 $\lambda \in R$ ，函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x-4, x \geqslant \lambda \\ x^{2}-4 x+3, x<\lambda\end{array}\right.$ ，当 $\lambda=2$ 时，不等式 $f(x) <0$ 的解集是 $\_\_\_\_$ $\{x \mid 1<x<4\}$ ．若函数 $f(x)$ 恰有 2 个零点，则 $\lambda$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ $(1,3] \cup(4,+\infty)$。

9．（5分）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}e^{x}, x \leqslant 0 \\ \ln x, x>0\end{array}, g(x)=f(x)+x+a\right.$ ．若 $g(x)$ 存在2个零点，则 a 的取值范围是

11．（5分）已知函数 $f(x)=x^{2}-2 x+a\left(e^{x-1}+e^{-x+1}\right)$ 有唯一零点，则 $a=$（ ）

12．（5分）已知函数 $f(x)=x^{2}-2 x+a\left(e^{x-1}+e^{-x+1}\right)$ 有唯一零点，则 $a=$（ ）

12．（6 分）（2016 •浙江）设函数 $f(x)=x^{3}+3 x^{2}+1$ ，已知 $a \neq 0$ ，且 $f(x)-f(a)=(x-b) (x-a)^{2}, x \in R$ ，则实数 $a=-2, b=$

15．在平面直角坐标系中，当 $P(x, y)$ 不是原点时，定义 $P$ 的＂伴随点＂为 $P^{\prime}\left(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{-x}{x^{2}+y^{2}}\right)$ ；当 $P$ 是原点时，定义 $P$ 的＂伴随点＂为它自身，现有下列命题：
①若点 A 的＂伴随点＂是点 $\mathrm{A}^{\prime}$ ，则点 $\mathrm{A}^{\prime}$ 的＂伴随点＂是点 A ．
②单元圆上的＂伴随点＂还在单位圆上．
③若两点关于 x 轴对称，则他们的＂伴随点＂关于 y 轴对称
④若三点在同一条直线上，则他们的＂伴随点＂一定共线．
其中的真命题是 $\_\_\_\_$ ．

15．（5 分）（2016 • 山东）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}|x|, x \leqslant m \\ x^{2}-2 m x+4 m, x>m\end{array}\right.$ ，其中 $m>0$ ，若存在实数 b ，使得关于 x 的方程 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{b}$ 有三个不同的根，则 m 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

8．（5分）（2016•天津）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+(4 a-3) x+3 a, x<0 \\ \log _{a}(x+1)+1, x \geqslant 0\end{array}(a>0\right.$, 且 $a \neq 1)$在 R 上单调递减，且关于 x 的方程 $|\mathrm{f}(\mathrm{x})|=2-\mathrm{x}$ 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（）

12．函数 $f(x)=4 \cos ^{2} \frac{x}{2} \cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)-2 \sin x-|\ln (x+1)|$ 的零点个数为 $\_\_\_\_$ ．

13．（5分）（2015•江苏）已知函数 $f(x)=|\ln x|, g(x)=\left\{\begin{array}{l}0,0<x \leqslant 1 \\ \left|x^{2}-4\right|-2, x>1\end{array}\right.$ ，则方程 $|\mathrm{f}(\mathrm{x})+\mathrm{g}(\mathrm{x})|=1$ 实根的个数为 $\_\_\_\_$ ．

13．函数 $f(x)=2 \sin x \sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)-x^{2}$ 的零点个数为 $\_\_\_\_$ ．

14、若函数 $f(x)=\left|2^{x}-2\right|-b$ 有两个零点，则实数 $b$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$．

15、已知函数 $f(x)=2^{x}, g(x)=x^{2}+a x$（其中 $a \in R$ ）．对于不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，设 $m=\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}, n= \frac{g\left(x_{1}\right)-g\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}$，现有如下命题：
①对于任意不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，都有 $m>0$；
②对于任意的 $a$ 及任意不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，都有 $n>0$；
③对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，使得 $m=n$；
④对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，使得 $m=-n$．
其中真命题有 $\_\_\_\_$ （写出所有真命题的序号）．

15．已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{3}, x \leq a \\ x^{2}, x>a\end{array}\right.$ ，若存在实数 $b$ ，使函数 $g(x)=f(x)-b$ 有两个零点，则 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

21．（12分）设函数 $f(x)=e^{2 x}-a \ln x$ 。
（I）讨论 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime}(x)$ 零点的个数；
（II）证明：当 $a>0$ 时，$f(x) \geq 2 a+a \ln \frac{2}{a}$ ．

7、 方程 $\log _{2}\left(9^{x-1}-5\right)=\log _{2}\left(3^{x-1}-2\right)+2$ 的解为 $\_\_\_\_$．

8．方程 $\log _{2}\left(9^{x-1}-5\right)=\log _{2}\left(3^{x-1}-2\right)+2$ 的解为

10．已知函数 $f(x)=x^{2}+e^{x}-\frac{1}{2}(x<0)$ 与 $g(x)=x^{2}+\ln (x+a)$ 图象上存在关于 $y$ 轴对称的点，则 $a$ 的取值范围是

12．（5分）已知函数 $f(x)=a x^{3}-3 x^{2}+1$ ，若 $f(x)$ 存在唯一的零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0}>0$ ，则实数 a 的取值范围是（）

13.

已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上且周期为 3 的函数，当 $x \in[0,3)$时，$f(x)=\left|x^{2}-2 x+\frac{1}{2}\right|$ ．若函数 $y=f(x)-a$ 在区间 $[-3,4]$ 上有 10 个零点（互不相同），则实数 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

15．（函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{lr}x^{2}-2, & x \leq 0 \\ 2 x-6+\ln x, & x>0\end{array}\right.$ 的零点个数是 $\_\_\_\_$ ．

21．（本小题满分13分）已知函数 $f(x)=x\cos x-\sin x+1(x>0)$．
（1）求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）记 $x_i$ 为 $f(x)$ 的从小到大的第 $i(i\in N^*)$ 个零点，证明：对一切 $n\in N^*$，有 $\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+\cdots+\frac{1}{x_n^2}<\frac{2}{3}$．

6．（5 分）已知函数 $f(x)=\frac{6}{x}-\log _{2} x$ ，在下列区间中，包含 $f(x)$ 零点的区间是

10、设函数 $f(x)=\sqrt{e^{x}+x-a} \quad(a \in R, e$ 为自然对数的底数）。若存在 $b \in[0,1]$ 使 $f(f(b))=b$成立，则 $a$ 的取值范围是

10．（5分）已知函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ ，下列结论中错误的是（ ）

（11）已知函数 $f(x)=x^{2}-2(a+2) x+a^{2}, g(x)=-x^{2}+2(a-2) x-a^{2}+8$．设 $H_{1}(x)=\max \{f(x), g(x)\}, H_{2}(x)=\min \{f(x), g(x)\},(\max \{p, q\})$ 表示 $p, q$ 中的较大值，

$\min \{p, q\}$ 表示 $p, q$ 中的较小值，记 $H_{1}(x)$ 得最小值为 $A, H_{2}(x)$ 得最小值为 $B$，则 $A-B=(\quad)$

（12）已知函数 $f(x)=x^{2}-2(a+2) x+a^{2}, g(x)=-x^{2}+2(a-2) x-a^{2}+8$．设 $H_{1}(x)=\max \{f(x), g(x)\}, H_{2}(x)=\min \{f(x), g(x)\},(\max \{p, q\})$ 表示 $p, q$ 中的较大值， $\min \{p, q\}$ 表示 $p, q$ 中的较小值，记 $H_{1}(x)$ 得最小值为 $A, H_{2}(x)$ 得最小值为 $B$，则 $A-B=$

14．对区间 I 上有定义的函数 $g(x)$ ，记 $g(I)=\{y \mid y=g(x), x \in I\}$ ，已知定义域为 $[0,3]$ 的函数 $y=f(x)$ 有反函数 $y=f^{-1}(x)$ ，且 $f^{-1}([0,1))=[1,2), f^{-1}((2,4])=[0,1)$ ，若方程 $f(x)-x=0$ 有解 $x_{0}$ ，则 $x_{0}=$ $\_\_\_\_$

20、（本小题满分 13 分）
已知圆 $C$ 的方程为 $x^{2}+(y-4)^{2}=4$，点 $O$ 是坐标原点．直线 $l: y=k x$ 与圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点．
（I）求 $k$ 的取值范围；
（II）设 $Q(m, n)$ 是线段 $M N$ 上的点，且 $\frac{2}{|O Q|^{2}}=\frac{1}{|O M|^{2}}+\frac{1}{|O N|^{2}}$．请将 $n$ 表示为 $m$ 的函数．

5．（5分）已知命题 p ：$\forall x \in \mathrm{R}, 2^{x}<3^{x}$ ；命题 $\mathrm{q}: ~ \exists x \in \mathrm{R}, x^{3}=1-x^{2}$ ，则下列命题中为真命题的是（）

（6）若 $a<b<c$ ，则函数 $f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)$ 两个零点分别位于区间

7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 $v(t)=7-3 t+\frac{25}{1+t}(t$ 的单位：$s, v$ 的单位：$m / s$ ）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：$m$ ）是

10．（5分）已知函数 $y=x^{3}-3 x+c$ 的图象与 $x$ 轴恰有两个公共点，则 $c=$（）

（12）设函数 $f(x)=\frac{1}{x}, g(x)=a x^{2}+b x(a, b \in R, a \neq 0)$ ，若 $y=f(x)$ 的图象与 $y=g(x)$ 图象有且仅有两个不同的公共点 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，则下列判断正确的是

14．（2012•天津）已知函数 $\mathrm{y}=\frac{\left|\mathrm{x}^{2}-1\right|}{\mathrm{x}-1}$ 的图象与函数 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}$ 的图象恰有两个交点，则实数 k 的取值范围是—
$\_\_\_\_$ ．

（15）设 $a>0$ ．若曲线 $y=\sqrt{x}$ 与直线 $x=a, y=0$ 所围成封闭图形的面积为 $a^{2}$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

15．对于实数 a 和 b ，定义运算＂$*$＂：$a * b=\left\{\begin{array}{l}a^{2}-a b,(a \leq b), \\ b^{2}-a b,(a>b),\end{array}\right.$
设 $f(x)=(2 x-1) *(x-1)$ ，且关于 $x$ 的方程为 $f(x)=m(m \in R)$ 恰有三个互不相等的实数根 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，则 $x_{1} x_{2} x_{3}$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$

$$ f(x)= \begin{cases}(2 x-1)^{2}-(2 x-1)(x-1), & 2 x-1 \leq x-1 \\ (x-1)^{2}-(2 x-1)(x-1), & 2 x-1>x-1\end{cases} $$

20．（2012•天津）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{3} \mathrm{x}^{3}+\frac{1-\mathrm{a}}{2} \mathrm{x}^{2}-\mathrm{ax}-\mathrm{a}, \mathrm{x} \in \mathrm{R}$ ，其中 $\mathrm{a}>0$ ．
（1）求函数 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若函数 $f(x)$ 在区间 $(-2,0)$ 内恰有两个零点，求 $a$ 的取值范围；
（3）当 $a=1$ 时，设函数 $f(x)$ 在区间 $[t, t+3]$ 上的最大值为 $M(t)$ ，最小值为 $m(t)$ 。记 $g(t)=M(t)-m(t)$ ，求函数 $g(t)$ 在区间 $[-3,-1]$ 上的最小值．

2012年天津市高考数学试卷（文科）

3．函数 $f(x)=x \cos 2 x$ 在区间 $[0,2 \pi]$ 上的零点个数为
A 2
B 3
C
4
D 5

9．函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=x \cos x^{2}$ 在区间 $[0,4]$ 上的零点个数为（ ）

10．（3分）（2011 •山东）已知 $f(x)$ 是 $R$ 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 $0 \leq x<2$ 时，$f (x)=x^{3}-x$ ，则函数 $y=f(x)$ 的图象在区间 $[0,6]$ 上与 $x$ 轴的交点的个数为
A 6
B 7
C 8
D 9

10．（5分）在下列区间中，函数 $f(x)=e^{x}+4 x-3$ 的零点所在的区间为

13．（5分）（2011•北京）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{x}, x \geqslant 2 \\ (x-1)^{3}, x<2\end{array}\right.$ 若关于 $x$
的方程 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{k}$ 有两个不同的实根，则数 k 的取值范围是 $\_\_\_\_$ $(0,1)$。

13．已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2}{x}, & x \geq 2 \\ (x-1)^{3}, & x<2\end{array}\right.$ 若关于 x
的方程 $f(x)=k$ 有两个不同的实根，则实数 $k$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$

16．（3分）（2011 •山东）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\log _{\mathrm{a}} \mathrm{x}+\mathrm{x}-\mathrm{b} ~(\mathrm{a}>0$ ，且 $\mathrm{a} \neq 1)$ 。当 $2<\mathrm{a}<3<\mathrm{b}<$ 4 时，函数 $f(x)$ 的零点 $x_{0} \in(n, n+1), n \in N^{*}$ ，则 $n=$ $\_\_\_\_$ ．

6．（5分）（2011•陕西）函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{\mathrm{x}}-\cos \mathrm{x}$ 在 $[0,+\infty)$ 内（ ）

8．对实数 $a$ 和 $b$ ，定义运算＂$\otimes$＂：$a \otimes b=\left\{\begin{array}{l}a, a-b \leq 1, \\ b, a-b>1 .\end{array}\right.$ 设函数
$f(x)=\left(x^{2}-2\right) \otimes(x-1), x \in R$ 。若函数 $y=f(x)-c$ 的图象与 $x$ 轴恰有两个公共点 ，则实数 $c$ 的取值范围是

（2）函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=2^{x}+3 x$ 的零点所在的一个区间是

（4）函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=e^{x}+x-2$ 的零点所在的一个区间是

17．（本小题满分 12 分）
设函数 $f(x)=x^{3}-\frac{9}{2} x^{2}+6 x-a$
（1）对于任意实数 $x, f^{\prime}(x) \geq m$ 恒成立，求 $m$ 的最大值；
（2）若方程 $f(x)=0$ 有且仅有一个实根，求 $a$ 的取值范围

12．设 $f(x)$ 是连续的偶函数，且当 $x>0$ 时 $f(x)$ 是单调函数，则满足 $f(x)=f\left(\frac{x+3}{x+4}\right)$ 的所有 $x$ 之和为