三角恒等变换的应用　·　历年高考数学真题与解析

18．设函数 $f(x)=\sin x+\cos x(x \in \mathrm{R})$ ．
（1）求函数 $y=\left[f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right]^{2}$ 的最小正周期；
（2）求函数 $y=f(x) f\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值．

13．已知 $\tan \theta=2$ ，则 $\cos 2 \theta=$ $\_\_\_\_$ $-\frac{3}{5} ; \tan \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=$ $\_\_\_\_$ $\frac{1}{3}$。

17．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）

已知 $y=\cos x$ ．
（1）若 $f(\alpha)=\frac{1}{3}$ ，且 $\alpha \in[0, \pi]$ ，求 $f\left(\alpha-\frac{\pi}{3}\right)$ 的值；
（2）求函数 $y=f(2 x)-2 f(x)$ 的最小值．

14．（5分）已知 $\theta$ 是第四象限角，且 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{3}{5}$ ，则 $\tan \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{4}{3}-$

5．（5分）若 $\tan \alpha=\frac{3}{4}$ ，则 $\cos ^{2} \alpha+2 \sin 2 \alpha=$（ ）

15．（13 分）已知函数 $f(x)=\sin x-2 \sqrt{3} \sin ^{2} \frac{x}{2}$ ．
（1）求 $f(x)$ 的最小正周期；
（2）求 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{2 \pi}{3}\right]$ 上的最小值．

17．设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, a=b \tan A$，且 $B$ 为针角．
（1）证明：$B-A=\frac{\pi}{2}$；
（2）求 $\sin A+\sin C$ 的取值范围．

16．（本小题满分 12 分）已知函数 $f(x)=A \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right), x \in R$ ，且 $f\left(\frac{5}{12} \pi\right)=\frac{3}{2}$ ，
（1）求 $A$ 的值；
（2）若 $f(\theta)+f(-\theta)=\frac{3}{2}, \theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，求 $f\left(\frac{3}{4} \pi-\theta\right)$ 。

8．（5分）设 $\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，且 $\tan \alpha=\frac{1+\sin \beta}{\cos \beta}$ ，则

16．（本小题满分 12 分）

已知函数 $f(x)=\cos x \cdot \cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)$

（1）求 $f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)$ 的值；
（2）求使 $f(x)<\frac{1}{4}$ 成立的 x 的取值集合

23．已知动点 $P$ 、 $Q$ 都在曲线 $C:\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \beta \\ y=2 \sin \beta\end{array}\right.$（ $\beta$ 为参数）上，对应参数分别为 $\beta= \alpha$ 与 $\beta=2 \alpha(0<\alpha<2 \pi), \mathrm{M}$ 为 PQ 的中点。
（1）求 M 的轨迹的参数方程；
（2）将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 $\alpha$ 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点

（9） $4 \cos 50^{\circ}-\tan 40^{\circ}=$

11．设 $\alpha$ 为锐角，若 $\cos \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{4}{5}$ ，则 $\sin \left(2 \alpha+\frac{\pi}{12}\right)$ 的值为

（13）在极坐标系中，圆 $\rho=4 \sin \theta$ 的圆心到直线 $\theta=\frac{\pi}{6}(\rho \in R)$ 的距离是 $\_\_\_\_$。

10．已知 $\cos \left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)+\sin \alpha=\frac{4}{5} \sqrt{3}$ ，则 $\sin \left(\alpha+\frac{7 \pi}{6}\right)$ 的值是（ ）

17．（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=\cos ^{2} \frac{x}{2}-\sin ^{2} \frac{x}{2}+\sin x$ ．
（I）求函数 $f(x)$ 的最小正周期；
（II）当 $x_{0} \in\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ 且 $f\left(x_{0}\right)=\frac{4 \sqrt{2}}{5}$ 时，求 $f\left(x_{0}+\frac{\pi}{6}\right)$ 的值。