2008 地方卷 · 文 数学

满足 $M \subseteq\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right\}$ ，且 $M \cap\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3}\right\}=\left\{a_{1}, a_{2}\right\}$ 的集合 $M$ 的个数是 ）

设 $z$ 的共轭复数是 $\bar{z}$ ，若 $z+\bar{z}=4, z \cdot \bar{z}=8$ ，则 $\frac{\bar{z}}{z}$ 等于

给出命题：若函数 $y=f(x)$ 是幂函数，则函数 $y=f(x)$ 的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是

设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1-x^{2}, & x \leqslant 1, \\ x^{2}+x-2, & x>1,\end{array}\right.$ 则 $f\left(\frac{1}{f(2)}\right)$ 的值为

不等式 $\frac{x+5}{(x-1)^{2}} \geqslant 2$ 的解集是（ ）

已知 $a, b, c$ 为 $\triangle A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 的对边，向量 $\boldsymbol{m}=(\sqrt{3},-1), \boldsymbol{n}=(\cos A, \sin A)$ ．若 $\boldsymbol{m} \perp \boldsymbol{n}$ ，且 $a \cos B+b \cos A=c \sin C$ ，则角 $A, B$ 的大小分别为（ ）

从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ）
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{分数} & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ \hline \text{人数} & 20 & 10 & 30 & 30 & 10 \\ \hline \end{array} $$

已知 $\cos \left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)+\sin \alpha=\frac{4}{5} \sqrt{3}$ ，则 $\sin \left(\alpha+\frac{7 \pi}{6}\right)$ 的值是（ ）

若圆 $C$ 的半径为 1 ，圆心在第一象限，且与直线 $4 x-3 y=0$ 和 $x$ 轴相切，则该圆的标准方程是（ ）

已知函数 $f(x)=\log _{a}\left(2^{x}+b-1\right)(a>0, a \neq 1)$ 的图象如图所示，则 $a, b$ 满足的关系是（ ）

已知圆 $C: x^{2}+y^{2}-6 x-4 y+8=0$ ．以圆 $C$ 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 $\_\_\_\_$ ．

已知 $f(3^x) = 4x \log_2 3 + 233$，则 $f(2) + f(4) + f(8) + \cdots + f(2^8)$ 的值等于_____．

设 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-y+2 \geqslant 0, \\ 5 x-y-10 \leqslant 0, \\ x \geqslant 0, \\ y \geqslant 0,\end{array}\right.$

则 $z=2 x+y$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ ．

（本小题满分 14 分）
已知曲线 $C_{1}: \frac{|x|}{a}+\frac{|y|}{b}=1(a>b>0)$ 所围成的封闭图形的面积为 $4 \sqrt{5}$ ，曲线 $C_{1}$ 的内切圆半径为 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$ ．记 $C_{2}$ 为以曲线 $C_{1}$ 与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
（I）求椭圆 $C_{2}$ 的标准方程；
（II）设 $A B$ 是过椭圆 $C_{2}$ 中心的任意弦，$l$ 是线段 $A B$ 的垂直平分线．$M$ 是 $l$ 上异于椭圆中心的点。
①若 $|M O|=\lambda|O A|$（ $O$ 为坐标原点），当点 $A$ 在椭圆 $C_{2}$ 上运动时，求点 $M$ 的轨迹方程；
②若 $M$ 是 $l$ 与椭圆 $C_{2}$ 的交点，求 $\triangle A M B$ 的面积的最小值．

2008年普通高等学校招生全国统一考试答案