平面向量的应用举例　·　历年高考数学真题与解析

17．设点 $P$ 在单位圆的内接正八边形 $A_{1} A_{2} \cdots A_{8}$ 的边 $A_{1} A_{2}$ 上，则 $\overrightarrow{P A}_{1}^{2}+\overrightarrow{P A}_{2}^{2}+\cdots+\overrightarrow{P A}_{8}^{2}$ 的取值范围是
$\_\_\_\_$。

22．在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为
$\rho=2 \sqrt{2} \cos \theta$.
（1）将 $C$ 的极坐标方程化为直角坐标方程；
②设点 $A$ 的直角坐标为 $(1,0), M$ 为 $C$ 上的动点，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{A P}=\sqrt{2} \overrightarrow{A M}$ ，写出 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方程，并判断 $C$ 与 $C_{1}$ 是否有公共点．

13．在 $\triangle A B C$ 中，$A B=4, A C=3, \angle B A C=90^{\circ}, D$ 在边 $B C$ 上，延长 $A D$ 到 $P$ ，使得 $A P=9$ ，若 $\overrightarrow{P A}=m \overrightarrow{P B}+\left(\frac{3}{2}-m\right) \overrightarrow{P C}$（ $m$ 为常数），则 $C D$ 的长度是 $\_\_\_\_$ ．

17．已知正方形 $A B C D$ 的边长为 1 ，当每个 $\lambda_{i}(i=1,2,3,4,5,6)$ 取遍 $\pm 1$ 时， $\left|\lambda_{1} \overrightarrow{A B}+\lambda_{2} \overrightarrow{B C}+\lambda_{3} \overrightarrow{C D}+\lambda_{4} \overrightarrow{D A}+\lambda_{5} \overrightarrow{A C}+\lambda_{6} \overrightarrow{B D}\right|$ 的最小值是 $\_\_\_\_$ ；最大值是 $\_\_\_\_$ ．

12．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$A$ 为直线 $l: y=2 x$ 上在第一象限内的点，$B(5,0)$ ，以 $A B$ 为直径的圆 $C$ 与直线／交于另一点 $D$ ．若 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C D}=0$ ，则点 $A$ 的横坐标为 $\_\_\_\_$ ．

16．已知 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 为平面上的两个定点，且 $|\overrightarrow{A B}|=2$ ，该平面上的动线段 PQ 的端点 $\mathrm{P} , \mathrm{Q}$ ，满足 $|\overrightarrow{A P}| \leq 5$ ， $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{A B}=6, \overrightarrow{A Q}=-2 \overrightarrow{A P}$ ，则动线段 PQ 所形成图形的面积为

15．（4分）（2016•浙江）已知向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}},|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=1,|\overrightarrow{\mathrm{~b}}|=2$ ，若对任意单位向量 $\overrightarrow{\mathrm{e}}$ ，均有 $|\overrightarrow{\mathrm{a}} \bullet \overrightarrow{\mathrm{e}}|+\mid \overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{e}} \mid \leq \sqrt{6}$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}$ 的最大值是

22．（10分）（2015•江苏）已知 $x, y \in R$ ，向量 $\vec{\alpha}=\left[\begin{array}{l}1 \\ -1\end{array}\right]$ 是矩阵 $\left[\begin{array}{ll}x & 1 \\ y & 0\end{array}\right]$ 的属于特征值 -2的一个特征向量，求矩阵 A 以及它的另一个特征值．

8．已知点 $A, B, C$ 在圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 上运动，且 $A B \perp B C$，若点 $P$ 的坐标为 $(2,0)$，则 $|\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}|$的最大值为

9、已知点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 在圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 上运动，且 $\mathrm{AB} \perp \mathrm{BC}$，若点 P 的坐标为 $(2,0)$，则 $|\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}|$ 的最大值为（

8．已知 $a, b$ 是单位向量，$a \cdot b=0$．若向量 $c$ 满足 $|c-a-b|=1$，则 $|c|$ 的最大值为

12．（5分）设向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}, \overrightarrow{\mathrm{c}}$ 满足 $|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=|\overrightarrow{\mathrm{b}}|=1, \overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}=-\frac{1}{2},\langle\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{c}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}-\overrightarrow{\mathrm{c}}\rangle=6 0^{\circ}$ ，则 $|\overrightarrow{\mathrm{c}}|$ 的最大值等于（ ）

（11）已知 $a>0$ ，若平面内三点 $\mathrm{A}(1,-a), \mathrm{B}\left(2, a^{2}\right), \mathrm{C}\left(3, a^{3}\right)$ 共线，则 $a=$ $\_\_\_\_$。