平面向量的线性运算　·　历年高考数学真题与解析

14．V $A B C$ 中，$D$ 为 $A B$ 边中点， $\overrightarrow{C E}=\frac{1}{3} \overrightarrow{C D}, \overrightarrow{A B}=\vec{a}, \overrightarrow{A C}=\vec{b}$ ，则 $\overrightarrow{A E}=$ $\_\_\_\_$（用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示），若 $|\overrightarrow{A E}|=5$ ， $A E \perp C B$ ，则 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{C D}=$ $\_\_\_\_$

14. $\triangle A B C$ 中，D为AB边中点， $\overrightarrow { C E } = \frac { 1 } { 3 } \overrightarrow { C D } , \overrightarrow { A B } = \vec { a } , \overrightarrow { A C } = \vec { b }$ ，则 $\overrightarrow { A E }$ =\_\_(用a,b表示)，若 $| { \overrightarrow { A E } } | =$ 5, $A E \bot C B$ ，则 ${ \overrightarrow { A E } } \cdot { \overrightarrow { C D } } =$

3．在 $\triangle A B C$ 中，点 $D$ 在边 $A B$ 上，$B D=2 D A$ 。记 $\overrightarrow{C A}=\vec{m}, \overrightarrow{C D}=\vec{n}$ ，则 $\overrightarrow{C B}=$（）

13．$\vec{a}=(2,1), \vec{b}=(2,-1), \vec{c}=(0,1)$ ，则 $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{c}=$ $\_\_\_\_$ ；$\vec{a} \cdot \vec{b}=$ $\_\_\_\_$ ．

17．已知正方形 $A B C D$ 的边长为 1 ，当每个 $\lambda_{i}(i=1,2,3,4,5,6)$ 取遍 $\pm 1$ 时， $\left|\lambda_{1} \overrightarrow{A B}+\lambda_{2} \overrightarrow{B C}+\lambda_{3} \overrightarrow{C D}+\lambda_{4} \overrightarrow{D A}+\lambda_{5} \overrightarrow{A C}+\lambda_{6} \overrightarrow{B D}\right|$ 的最小值是 $\_\_\_\_$ ；最大值是 $\_\_\_\_$ ．

3．已知 $\overrightarrow{A B}=(2,3), \overrightarrow{A C}=(3, t), \overrightarrow{B C}=1$ ，则 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}=$

7．（5分）设 $\vec{\pi}, \vec{n}$ 为非零向量，则＂存在负数 $\lambda$ ，使得 $\vec{\pi}=\lambda \vec{n}$＂是＂$\vec{\pi} \bullet \vec{n}<0$＂的

11．已知向量 $\overrightarrow{O A} \perp \overrightarrow{A B},|\overrightarrow{O A}|=3$ ，则 $\overrightarrow{O A} \bullet \overrightarrow{O B}=$

2、设向量 $a=(2,4)$ 与向量 $b=(x, 6)$ 共线，则实数 $x=($

7．设四边形 ABCD 为平行四边形，$|\overrightarrow{A B}|=6,|\overrightarrow{A D}|=4$ 。若点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 满足 $\overrightarrow{B M}=3 \overrightarrow{M C}, \overrightarrow{D N}=2 \overrightarrow{N C}$ ，则 $\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{N M}=$

7．设 $\vec{a}=(1,2), \vec{b}=(1,1), \vec{c}=\vec{a}+k \vec{b}$ ．若 $\vec{b} \perp \vec{c}$ ，则实数 $k$ 的值等于

7．（5分）设 D 为 $\triangle \mathrm{ABC}$ 所在平面内一点， $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=3 \overrightarrow{\mathrm{CD}}$ ，则（）

8．对任意向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，下列关系式中不恒成立的是（ ）

10．设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点， O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则
$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}$ 等于
$A . \overrightarrow{O M}$
$B .2 \overrightarrow{O M}$
$C .3 \overrightarrow{O M}$
$D .4 \overrightarrow{O M}$

11．设向量 $\mathbf{a}=(3,3), \quad \mathbf{b}=(1,-1)$，若 $(\mathbf{a}+\lambda \mathbf{b}) \perp(\mathbf{a}-\lambda \mathbf{b})$，则实数 $\lambda=$ $\_\_\_\_$．

（14）【2014年上海，文 14,5 分】已知曲线 $C: x=-\sqrt{4-y^{2}}$ ，直线 $l: x=6$ ．若对于点 $A(m, 0)$ ，存在 $C$ 上的点 $P$ 和 $l$ 上的点 $Q$ 使得 $\overrightarrow{A P}+\overrightarrow{A Q}=\overrightarrow{0}$ ，则 $m$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$。

14．平面向量 $\vec{a}=(1,2), \vec{b}=(4,2), \vec{c}=m \vec{a}+\vec{b} \quad(m \in R)$ ，且 $\vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角等于 $\vec{c}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角，则 $m=$ $\_\_\_\_$ ．

15．（5分）已知 $A, B, C$ 为圆 $O$ 上的三点，若 $\overrightarrow{A O}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})$ ，则 $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{A C}$ 的夹角为 $\_\_\_\_$ $90^{\circ}$ ．

16．在平面直角坐标系中，$O$ 为原点，$A(-1,0), B(0, \sqrt{3}), C(3,0)$ ，动点 $D$ 满足 $|\overrightarrow{C D}|=1$ ，则 $|\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O D}|$ 的最大值是 $\_\_\_\_$ ．

5．设 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是非零向量，已知命题 $P$ ：若 $\vec{a} \bullet \vec{b}=0, \vec{b} \bullet \vec{c}=0$ ，则 $\vec{a} \bullet \vec{c}=0$ ；命题 $q$ ：若 $\vec{a} / / \vec{b}, \vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ ，则下列命题中真命题是

6．（5分）设 $D, E, F$ 分别为 $\triangle A B C$ 的三边 $B C, C A, A B$ 的中点，则 $\overrightarrow{E B}+\overrightarrow{F C}=$（

7．平面向量 $\vec{a}=(1,2), \vec{b}=(4,2), \vec{c}=m \vec{a}+\vec{b}(m \in R)$ ，且 $\vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角等于 $\vec{c}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角，则 $m=$（）

12、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O, \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}=\lambda \overrightarrow{A O}$，则 $\lambda=$ $\_\_\_\_$．

12．在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O, \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}=\lambda \overrightarrow{A O}$，则 $\lambda=$ $\_\_\_\_$。

13．（5分）已知正方形$ABCD$的边长为2，$E$为$CD$的中点，则$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BD}=$____．

14．（5 分）已知点 $A(1,-1), B(3,0), C(2,1)$ ．若平面区域 $D$ 由所有满足 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mu \overrightarrow{\mathrm{AC}}(1 \leqslant \lambda \leqslant 2,0 \leqslant \mu \leqslant 1)$ 的点 P 组成，则 D 的面积为 $\_\_\_\_$ 3。

2．已知向量 $\vec{a}=(1, m), \vec{b}=(m, 2)$，若 $\mathrm{a} / / \mathrm{b}$，则实数 m 等于

（3）已知点 $A(1,3), B(4,-1)$，则与向量 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 司方向的单位向量为

14．过直线 $x+y-2 \sqrt{2}=0$ 上点 P 作 $x^{2}+y^{2}=1$ 的两条切线，若两条切线的夹角是 $60^{0}$ ，则点 P 的坐标是

15．在 $\triangle A B C$ 中，$M$ 是 $B C$ 的中点，$A M=3, B C=10$ ，则 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}=$

15．如图 4，在平行四边形 $A B C D$ 中，$A P^{\wedge} B D$ ，垂足为 $P$ ，且 $A P=3$ ，则
$\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{A C}=$ $\_\_\_\_$ ．

图4

8．（5分）$\triangle A B C$ 中，点 $D$ 在边 $A B$ 上，$C D$ 平分 $\angle A C B$ ，若 $\overrightarrow{C B}=\vec{a}, \overrightarrow{C A}=\vec{b},|\vec{a}|=1$ ， $|\overrightarrow{\mathrm{b}}|=2$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{CD}}=$（ ）

（14）已知平面向量 $\vec{a}=(2,4), \vec{b}=(-1,2)$ ．若 $\vec{c}=\vec{a}-(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b}$ ，则 $|\vec{c}|=$ $\_\_\_\_$

3．（5分）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{c}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{b}}$ ．若点 D 满足 $\overrightarrow{\mathrm{BD}}=2 \overrightarrow{\mathrm{DC}}$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=$（）

5．已知 $O, A, B$ 是平面上的三个点，直线 $A B$ 上有一点 $C$ ，满足 $2 \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C B}=0$ ，则 $\overrightarrow{O C}=$（ ）

5．（5分）在 $\triangle A B C$ 中， $\overrightarrow{A B}=\vec{c}, \overrightarrow{A C}=\vec{b}$ ．若点 $D$ 满足 $\overrightarrow{B D}=2 \overrightarrow{D C}$ ，则 $\overrightarrow{A D}=$

7．设 $D , E , F$ 分别是 $\triangle A B C$ 的三边 $B C , C A , A B$ 上的点，且 $\overrightarrow{D C}=2 \overrightarrow{B D}, \overrightarrow{C E}=2 \overrightarrow{E A}$ ， $\overrightarrow{A F}=2 \overrightarrow{F B}$ ，则 $\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B E}+\overrightarrow{C F}$ 与 $\overrightarrow{B C}$