平面向量的基本定理及坐标表示　·　历年高考数学真题与解析

9．已知向量 $\vec{a}=(x+1, x), \vec{b}=(x, 2)$ ，则（ ）

3．已知向量 $\vec{a}=(2,1), \vec{b}=(-2,4)$ ，则 $|\vec{a}-\vec{b}|(\quad)$

11．已知 $A_1$、$A_2$、$A_3$、$A_4$、$A_5$ 五个点，满足 $\overrightarrow{A_n A_{n+1}} \cdot \overrightarrow{A_{n+1} A_{n+2}} = 0$（$n = 1,2,3$），$|\overrightarrow{A_n A_{n+1}}| \cdot |\overrightarrow{A_{n+1} A_{n+2}}| = n + 1$（$n = 1,2,3$），则 $|\overrightarrow{A_1 A_5}|$ 的最小值为

6．在平面内，$A, B$ 是两个定点，$C$ 是动点，若 $\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B C}=1$ ，则点 $C$ 的轨迹为（ ）

3．已知向量 $\boldsymbol{a}=(2,3), \boldsymbol{b}=(3,2)$ ，则 $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=$

13．（5分）已知向量 $\vec{a}=(1,2), \vec{b}=(2,-2), \vec{c}=(1, \lambda)$ ．若 $\vec{c} \|(2 \vec{a}+\vec{b}$ ），则 $\lambda=-\frac{1}{2}-$ ．

13．（5分）已知向量 $\vec{a}=(1,2), \vec{b}=(2,-2), \vec{c}=(1, \lambda)$ ．若 $\vec{c} \|(2 \vec{a}+\vec{b}$ ），则 $\lambda=-\frac{1}{2}$ —。

6．（5分）在 $\triangle A B C$ 中，$A D$ 为 $B C$ 边上的中线，$E$ 为 $A D$ 的中点，则 $\overrightarrow{E B}=$（）

7．（5分）在 $\triangle A B C$ 中，$A D$ 为 $B C$ 边上的中线，$E$ 为 $A D$ 的中点，则 $\overrightarrow{E B}=$（ ）

12．（5分）在矩形 ABCD 中， $\mathrm{AB}=1, \mathrm{AD}=2$ ，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上．若 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mu \overrightarrow{\mathrm{AD}}$ ，则 $\lambda+\mu$ 的最大值为（）

10．在平面内，定点 $A, B, C, D$ 满足 $|\overrightarrow{D A}|=|\overrightarrow{D B}|=|\overrightarrow{D C}|, \overrightarrow{D A} \cdot \overrightarrow{D B}=\overrightarrow{D B} \cdot \overrightarrow{D C}=\overrightarrow{D C} \cdot \overrightarrow{D A}=-2$ ，动点 $P$ ， $M$ 满足 $|\overrightarrow{A P}|=1, \overrightarrow{P M}=\overrightarrow{M C}$ ，则 $|\overrightarrow{B M}|^{2}$ 的最大值是

13．（5分）已知向量 $\vec{a}=(m, 4), \vec{b}=(3,-2)$ ，且 $\vec{a} \| \vec{b}$ ，则 $m=$ $\_\_\_\_$ －6 ．

9．已知正三角形 ABC 的边长为 $2 \sqrt{3}$ ，平面 ABC 内的动点 $\mathrm{P}, \mathrm{M}$ 满足 $|\stackrel{\text { uu }}{A P}=1|, \stackrel{\text { uur }}{P M}=\stackrel{\text { uu }}{M C}$ ，则 $|\stackrel{\text { ur }}{B M}|^{2}$ 的最大值是

13．（5 分）在 $\triangle A B C$ 中，点 $M, N$ 满足 $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=2 \overrightarrow{\mathrm{MC}}, \overrightarrow{\mathrm{BN}}=\overrightarrow{\mathrm{NC}}$ ，若 $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=x \overrightarrow{\mathrm{AB}}+y \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ ，则 $x= \frac{1}{2}-, y=-\frac{1}{6}-$.

2．（5分）已知点 $A(0,1), B(3,2)$ ，向量 $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-4,-3)$ ，则向量 $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=$

6．（5分）（2015•江苏）已知向量 $\vec{a}=(2,1), \vec{b}=(1,-2)$ ，若 $m \vec{a}+n \vec{b}=(9,-8)$ （ $m$ ，$n \in R$ ），则 $m-n$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

10．（5 分）已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1, \vec{b}=(2,1)$ ，且 $\lambda \vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{0}(\lambda \in R)$ ，则 $|\lambda|=$ 근

10．在平面直角坐标系中，$O$ 为原点，$A(-1,0), B(0, \sqrt{3}), C(3,0)$，动点 $D$ 满足 $|\overrightarrow{C D}|=1$，则 $|\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O D}|$ 的取值范围是

18．（本小题满分 12 分）
在直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A(1,1), B(2,3), C(3,2)$，点 $P(x, y)$ 在 $\triangle A B C$ 三边围成的区域（含边界）上，且 $\overrightarrow{O P}=m \overrightarrow{A B}+n \overrightarrow{A C}(m, n \in R)$．
（1）若 $m=n=\frac{2}{3}$，求 $|\overrightarrow{O P}|$；

（2）用 $x, y$ 表示 $m-n$，并求 $m-n$ 的最大值．

3．（5 分）已知向量 $\vec{a}=(2,4), \vec{b}=(-1,1)$ ，则 $2 \vec{a}-\vec{b}=$（）

4．已知向量 $\vec{a}=(k, 3), \vec{b}=(1,4), \vec{c}=(2,1)$ ，且 $(2 \vec{a}-3 \vec{b}) \perp \vec{c}$ ，则实数 $k=$（ ）

10．（2013广东，文10）设 $\boldsymbol{a}$ 是已知的平面向量且 $\boldsymbol{a} \neq 0$ ．关于向量 $\boldsymbol{a}$ 的分解，有如下四个命题：
①给定向量 $b$ ，总存在向量 $c$ ，使 $a=b+c$ ；
②给定向量 $\boldsymbol{b}$ 和 $\boldsymbol{c}$ ，总存在实数 $\lambda$ 和 $\mu$ ，使 $\boldsymbol{a}=\lambda \boldsymbol{b}+\mu \boldsymbol{c}$ ；
③给定单位向量 $\boldsymbol{b}$ 和正数 $\mu$ ，总存在单位向量 $\boldsymbol{c}$ 和实数 $\lambda$ ，使 $\boldsymbol{a}=\lambda \boldsymbol{b}+\mu \boldsymbol{c}$ ；
④给定正数 $\lambda$ 和 $\mu$ ，总存在单位向量 $b$ 和单位向量 $c$ ，使 $a=\lambda b+\mu c$ ．
上述命题中的向量 $b, c$ 和 $a$ 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）。

13．（5分）向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 在正方形网格中的位置如图所示，若 $\vec{c}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}(\lambda$ ， $\mu \in R$ ），则 $\frac{\lambda}{\mu}=4$ ．

（3）已知点 $A(1,3), B(4,-1)$，则与向量 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 司方向的单位向量为

13．已知向量 $\vec{a}=(1,0), \vec{b}=(1,1)$ ，则
（I）与 $2 \vec{a}+\vec{b}$ 同向的单位向量的坐标表示为 $\_\_\_\_$ ；
（．II ）向量 $\vec{b}-3 \vec{a}$ 与向量 $\vec{a}$ 夹角的余弦值为 $\_\_\_\_$。

（16）如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一单位圆的圆心的初始位置在 $(0,1)$ ，此时圆上一点 $P$ 的位置在 $(0,0)$ ，圆在 $x$ 轴上沿正
向滚动。当圆滚动到圆心位于 $(2,1)$ 时， $\overrightarrow{O P}$ 的坐标为 $\_\_\_\_$ ．

5．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（）

第（5）题四

14．已知直角梯形 $A B C D$ 中，$A D / / B C, \angle A D C=90^{\circ}, A D=2, B C=1$ ， $P$ 是腰 $D C$ 上的动点，则 $|\overrightarrow{P A}+3 \overrightarrow{P B}|$ 的最小值为 $\_\_\_\_$

（2） $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 为平面向量，已知 $\mathrm{a}=(4, ~ 3), ~ 2 \mathrm{a}+\mathrm{b}=(3, ~ 18)$ ，则 $\mathrm{a}, ~ \mathrm{~b}$ 夹角的余弦值等于

13．已知向量 $\vec{a}=(3,1), \vec{b}=(1,3), \vec{c}=(k, 7)$ ，若 $(\vec{a}-\vec{c}) / / \vec{b}$ ，则 $k=$ $\_\_\_\_$ ．

11．已知向量 $\vec{a}=(1, \sqrt{3}), \vec{b}=(-2,0)$ ，则 $|\vec{a}+\vec{b}|=$ $\_\_\_\_$ ．

13．直角坐标平面内三点 $A(1,2) , B(3,-2) , C(9,7)$ ，若 $E , F$ 为线段 $B C$ 的三等分点，则 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A F}=$ $\_\_\_\_$。

8．将函数 $y=2^{x}+1$ 的图象按向量 $\boldsymbol{a}$ 平移得到函数 $y=2^{x+1}$ 的图象，则