2017 北京卷 · 理 数学

（5 分）若集合 $A=\{x \mid-2<x<1\}, B=\{x \mid x<-1$ 或 $x>3\}$ ，则 $A \cap B=$（）

（5 分）若复数 $(1-i)(a+i)$ 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 $a$ 的取值范围是

（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为

（5 分）若 $x, y$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}x \leqslant 3 \\ x+y \geqslant 2, \text { 则 } x+2 y \text { 的最大值为（）} \\ y \leqslant x\end{array}\right.$

（5 分）已知函数 $f(x)=3^{x}-\left(\frac{1}{3}\right) x$ ，则 $f(x)(\quad)$

（5分）设 $\vec{\pi}, \vec{n}$ 为非零向量，则＂存在负数 $\lambda$ ，使得 $\vec{\pi}=\lambda \vec{n}$＂是＂$\vec{\pi} \cdot \vec{n}<0$＂的（）

（5 分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）

俯视图

（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 $3^{361}$ ，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 $N$ 约为 $10^{80}$ ，则下列各数中与 $\frac{M}{N}$ 最接近的是
（参考数据： $\lg 3 \approx 0.48$ ）

（5 分）若双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{m}=1$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则实数 $m=$ $\_\_\_\_$ 2 ．

（5 分）若等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=b_{1}=-1, a_{4}=b_{4}=8$ ，则 $\frac{a_{2}}{b_{2}}=$
$\_\_\_\_$ 1 ．

（5 分）在极坐标系中，点 A 在圆 $\rho^{2}-2 \rho \cos \theta-4 \rho \sin \theta+4=0$ 上，点 P 的坐标为 $(1,0)$ ，则 $|A P|$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ 1 ．

（5分）在平面直角坐标系 xOy 中，角 $\alpha$ 与角 $\beta$ 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 $y$ 轴对称，若 $\sin \alpha=\frac{1}{3}$ ，则 $\cos (\alpha-\beta)=$ $\_\_\_\_$ $-\frac{7}{9}$ ．

（5 分）能够说明＂设 $a, b, c$ 是任意实数．若 $a>b>c$ ，则 $a+b>c$＂是假命题的一组整数 $a, b, c$ 的值依次为 $\_\_\_\_$ $-1,-2,-3$ ．

（5 分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中 $\mathrm{A}_{\mathrm{i}}$ 的横、纵坐标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 $\mathrm{B}_{\mathrm{i}}$的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数， $\mathrm{i}=1,2,3$ ．
（1）记 $\mathrm{Q}_{\mathrm{i}}$ 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 $\mathrm{Q}_{1}, \mathrm{Q}_{2}, \mathrm{Q}_{3}$ 中最大的是 $\mathrm{Q}_{1}$。
（2）记 $\mathrm{p}_{\mathrm{i}}$ 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 $\mathrm{p}_{1}, \mathrm{p}_{2}, \mathrm{p}_{3}$ 中最大的是 $\_\_\_\_$。

（13 分）在 $\triangle A B C$ 中，$\angle A=60^{\circ}, c=\frac{3}{7} a$ ．
（1）求 $\sin \mathrm{C}$ 的值；
（2）若 $a=7$ ，求 $\triangle A B C$ 的面积．

（13分）为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组各 50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标 x和 y 的数据，并制成如图，其中＂＊＂表示服药者，＂＋＂表示未服药者．
（1）从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y 的值小于 60 的概率；
（2）从图中 A，B，C，D 四人中随机选出两人，记 $\xi$ 为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人数，求 $\xi$ 的分布列和数学期望 $E(\xi)$ ；
（3）试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大小。（只需写出结论）