2018 新课标 II 卷 数学

（5分） $\frac { 1 + 2 \mathrm { i } } { 1 - 2 \mathrm { i } } =$ （ ）A $\frac { 4 } { 5 } - \frac { 3 } { 5 } i$ B $\frac { 4 } { 5 } + \frac { 3 } { 5 } i$ C $\frac { 3 } { 5 } - \frac { 4 } { 5 } =$ D $\frac { 3 } { 5 } + \frac { 4 } { 5 } i$

（5分）已知集合 $\cdot A = \{ ( \ x , y ) | x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 3 , x \in Z , y \in Z \}$ ，则A中元素的个数为（）

（5分）函数f $( x ) = \frac { e ^ { x } - e ^ { - x } } { x ^ { 2 } }$ 的图象大致为（

A

B

C

D

（5分）已知向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1$，$\vec{a}\cdot\vec{b}=-1$，则 $\vec{a}\cdot(2\vec{a}-\vec{b})=$（　　）

（5分）双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的离心率为 ${ \sqrt { 3 } } ,$ ，则其渐近线方程 为（　　） A $\mathsf { v } { = } \pm \sqrt { 2 } \mathsf { x }$ B $\mathsf { v } { = } { \pm } \sqrt { 3 } \mathsf { x }$ C $\mathsf { y } = \pm \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \mathsf { x }$ D $\mathsf { y } { = } { \pm } \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \mathsf { x }$

（5分）在 $\triangle \mathsf { A B C } ^ { \prime }$ 中， $\cos \frac { c } { 2 } = \frac { \sqrt { 5 } } { 5 }$ ，BC=1，AC=5，则AB=（　　）A $4 \sqrt { 2 }$ B $\sqrt { 3 0 }$ C $\sqrt { 2 9 }$ D $2 \sqrt { 5 }$

（5分）为计算 $S { = } 1 - \frac { 1 } { 2 } { + } \frac { 1 } { 3 } - \frac { 1 } { 4 } { + } . . . { + } \frac { 1 } { 9 9 } - \frac { 1 } { 1 0 0 }$ ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（　　）

（5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A $\frac { 1 } { 1 2 }$ B $\frac { 1 } { 1 4 }$ C $\frac { 1 } { 1 5 }$ D $\frac { 1 } { 1 8 }$

（5分）在长方体 $\mathsf { A B C D } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { D } _ { 1 }$ 中， $A B = B C = 1$ $\mathsf { A A } _ { 1 } \mathsf { = } \sqrt { 3 } ,$ ，则异面直线 $\mathsf { A D } _ { 1 }$ 与 $\mathsf { i } \mathsf { D } \mathsf { B } _ { 1 }$ 所成角的余弦值为（A $\frac { 1 } { 5 }$ B $\frac { \sqrt { 5 } } { 6 }$ C $\frac { \sqrt { 5 } } { 5 }$ D $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$

（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A $\frac { \pi } { 4 }$ B $\frac { \pi } { 2 }$ C $\frac { 3 \pi } { 4 }$ D．π

（5分）已知f（x）是定义域为 $( \mathbf { \partial } - \infty , \mathbf { \partial } + \infty )$ 的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（　　）

（5分）曲线 $y = 2 1 { \mathsf { n } } ( { \mathsf { x } } ^ { + } 1 )$ 在点（0，0）处的切线方程为　y=2x

（5分）若$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+2y-5\geqslant0\\x-2y+3\geqslant0\\x-5\leqslant0\end{cases}$，则$z=x+y$的最大值为______．

（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为 $\frac { 7 } { 8 }$ ，SA与圆锥底面所成角为 $1 4 5 ^ { \circ }$ ，若 $\triangle S A B$ 的面积为 $\scriptstyle 5 { \sqrt { 1 5 } }$ ，则该圆锥的侧面积为 $\underline { { 4 0 } } \sqrt { 2 } \underline { { \pi } }$

（12分）记 $S _ { \mathfrak { n } }$ 为等差数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前n项和，已知 $\mathsf { a } _ { 1 } = - \mathsf { 7 } , \mathsf { S } _ { 3 } = - \mathsf { 1 5 }$

（1）求 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的通项公式；

（2）求 $S _ { \mathfrak { n } } .$ ，并求 $S _ { \mathfrak { n } }$ 的最小值

（12分）如图，在三棱锥 $\mathsf { P } - \mathsf { A B C } \mathsf { H }$ $A B = B C = 2 \sqrt { 2 }$ $\mathsf { P A } { = } \mathsf { P B } { = } \mathsf { P C } { = } \mathsf { A C } { = } 4$ ，O为AC的中点．

（1）证明：PO⊥平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值