2019 北京卷 · 理 数学

（5 分）已知复数 $z=2+i$ ，则 $z \cdot \bar{z}=$

（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 $s$ 值为

（5 分）已知直线 $l$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+3 t, \\ y=2+4 t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），则点 $(1,0)$ 到直线 $l$ 的距离是（ ）

（5 分）已知椭圆 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则（）

（5 分）若 $x, y$ 满足 $|x| \leqslant 1-y$ ，且 $y \geqslant-1$ ，则 $3 x+y$ 的最大值为（ ）

（5 分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足 $m_{2}-m_{1}=\frac{5}{2} l g \frac{\mathrm{E}_{1}}{\mathrm{E}_{2}}$ ，其中星等为 $m_{k}$ 的星的亮度为 $E_{k}(k=1,2)$ ．已知太阳的星等是 26．7，天狼星的星等是 -1.45 ，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）

（5分）设点 $A, B, C$ 不共线，则＂ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ 的夹角为锐角＂是＂$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}|>|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|$＂的（）

（5 分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 $C: x^{2}+y^{2}=1+|x| y$ 就是其中之一 （如图）．给出下列三个结论：
①曲线 $C$ 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线 $C$ 上任意一点到原点的距离都不超过 $\sqrt{2}$ ；
③曲线 $C$ 所围成的＂心形＂区域的面积小于 3 ．
其中，所有正确结论的序号是（ ）

（5 分）函数 $f(x)=\sin ^{2} 2 x$ 的最小正周期是 $\_\_\_\_$ $\frac{\pi}{2}$ ．

（5 分）设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2}=-3, S_{5}=-10$ ，则 $a_{5}=$ $\_\_\_\_$ 0 ，$S_{n}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ － 10 ．

（5 分）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为 1 ，那么该几何体的体积为 $\_\_\_\_$ 40 ．

（5 分）已知 $l, m$ 是平面 $\alpha$ 外的两条不同直线．给出下列三个论断：
（1）$l \perp m$ ；（2）$m / / \alpha$ ；（3）$l \perp \alpha$ ．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： $\_\_\_\_$若 $l \perp \alpha, l \perp m$ ，则 $m / / \alpha$ 。

（5 分）设函数 $f(x)=e^{x}+a e^{-x}$（ $a$ 为常数）．若 $f(x)$ 为奇函数，则 $a=$ $\_\_\_\_$ －1 ；若 $f$ （ $x$ ）是 $R$ 上的增函数，则 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ （ $-\infty$ ，0］ ．

（5 分）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为 60 元／盒、 65 元／盒、 80 元／盒、 90 元／盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付 $x$ 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 $80 \%$ 。
（1）当 $x=10$ 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付 $\_\_\_\_$ 130元；
（2）在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 $x$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 15 ．

（13分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一。为了解某校学生上个月 $A, B$ 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 $A, B$ 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用 $A$ 和仅使用 $B$ 的学生的支付金额分布情况如下：

（I）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 $A, B$ 两种支付方式都使用的概率； （II）从样本仅使用 $A$ 和仅使用 $B$ 的学生中各随机抽取 1 人，以 $X$ 表示这 2 人中上个月支付金额大于 1000 元的人数，求 $X$ 的分布列和数学期望；

（III）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用 $A$ 的学生中，随机抽查 3 人，发现他们本月的支付金额都大于 2000 元。根据抽查结果，能否认为样本仅使用 $A$ 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由．

（14分）已知抛物线 $C: x^{2}=-2 p y$ 经过点（2，－1）．
（I）求抛物线 $C$ 的方程及其准线方程；
（II）设 $O$ 为原点，过抛物线 $C$ 的焦点作斜率不为 0 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于两点 $M, N$ ，直线 $y=-1$ 分别交直线 $O M, O N$ 于点 $A$ 和点 $B$ ．求证：以 $A B$ 为直径的圆经过 $y$ 轴上的两个定点．

（13 分）已知函数 $f(x)=\frac{1}{4} x^{3}-x^{2}+x$ ．
（I）求曲线 $y=f(x)$ 的斜率为 1 的切线方程；
（II）当 $x \in[-2,4]$ 时，求证：$x-6 \leqslant f(x) \leqslant x$ ；
（III）设 $F(x)=|f(x)-(x+a)|(a \in \mathbf{R})$ ，记 $F(x)$ 在区间 $[-2,4]$ 上的最大值为 $M$ （a）．当 $M(a)$ 最小时，求 $a$ 的值．

（13 分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，从中选取第 $i_{1}$ 项、第 $i_{2}$ 项、⋯、第 $i_{m}$ 项 $\left(i_{1}<i_{2}<\cdots<i_{m}\right)$ ，若 $a \mathrm{i}_{1}<a \mathrm{i}_{2}<\cdots<a \mathrm{i}_{\mathrm{m}}$ ，则称新数列 $a \mathrm{i}_{1}, a \mathrm{i}_{2}, \cdots, a \mathrm{i}_{\mathrm{m}}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的长度为 $m$ 的递增子列。规定：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的任意一项都是 $\left\{a_{n}\right\}$ 的长度为 1 的递增子列．
（I）写出数列 $1,8,3,7,5,6,9$ 的一个长度为 4 的递增子列；
（II）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的长度为 $p$ 的递增子列的末项的最小值为 $a \mathrm{~m}_{0}$ ，长度为 $q$ 的递增子列的末项的最小值为 $a \mathrm{n}_{0}$ ．若 $p<q$ ，求证：$a \mathrm{~m}_{0}<a \mathrm{n}_{0}$ ；
（III）设无穷数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若 $\left\{a_{n}\right\}$ 的长度为 $s$ 的递增子列末项的最小值为 $2 s-1$ ，且长度为 $s$ 末项为 $2 s-1$ 的递增子列恰有 $2^{s-1}$ 个 $(s=1$ ， $2, \cdots)$ ，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式．