2019 新课标 III 卷 数学

已知集合 A = {−1,0,1,2}， $B = \left\{ x \Big | x ^ { 2 } \leq 1 \right\}$ ，则A∩B=（）

若 $z(1 + i) = 2i$，则 $z = ( )$

两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（）

《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）

函数 $f ( x ) = 2 \mathrm { s i n } x - \mathrm { s i n } 2 x$ 在 $[ 0 , 2 \pi ]$ 的零点个数为（）

已知各项均为正数的等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前4项和为15，且 $a _ { 5 } = 3 a _ { 3 } + 4 a _ { 1 }$ ，则 $a _ { 3 } = ~ ( ~ )$

已知曲线 $y = a \mathbf { e } ^ { x } + x \ln x$ 在点 $\left( 1 , a e \right)$ 处的切线方程为 $y = 2 x + b$ ，则（）

如图，点N为正方形ABCD的中心，∆ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点，则（）

执行如图所示的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出S的值等于（）

已知F是双曲线 $C : \frac { x ^ { 2 } } { 4 } - \frac { y ^ { 2 } } { 5 } = 1$ 的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若$| O P | { = } | O F |$ ，则 ${ \triangle } O P F$ 的面积为（）

已知向量 $\stackrel { } { a } = ( 2 , 2 ) , \stackrel { } { b } = ( - 8 , 6 )$ ，则 $\cos < \stackrel { } { a } , \stackrel { } { b } > =$

记 $S _ { n }$ 为等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前n项和，若 $a _ { 3 } = 5 , a _ { 7 } = 1 3$ ，则 $S _ { 1 0 }$ =

设 $F _ { 1 } , \ F _ { 2 }$ 为椭圆 $C : \frac { x ^ { 2 } } { 3 6 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 0 } = 1$ 的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若

△ $M F _ { 1 } F _ { 2 }$ 为等腰三角形，则M的坐标为

为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A,B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：

甲离子残留百分比直方图

乙离子残留百分比直方图

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 $5 . 5 ~ ^ { \mathrm { ~ , ~ } }$ ，根据直方图得到 $P ( C )$ 的估计值为0.70.

（1）求乙离子残留百分比直方图中a,b的值；

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

∆ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 $a , b , c$ ，已知 $a \sin { \frac { A + C } { 2 } } = b \sin A$

(1)求B；

（2）若∆ABC为锐角三角形，且c=1，求∆ABC面积的取值范围.

图1是由矩形ADEB,Rt∆ABC 和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中$\ A B = 1 , B E = B F = 2$ $\angle F B C = 6 0 ^ { \circ }$ ，将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.

（1）证明图2中的A,C,G,D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

（2）求图2中的四边形ACGD的面积.

图1

图2

已知函数 $f ( x ) { = } 2 x ^ { 3 } - a x ^ { 2 } + 2$

（1）讨论f(x)的单调性；

（2）当 $0 < a < 3$ 时，记f(x)在区间[0,1]的最大值为M，最小值为m，求 $M - m$ 的取值范围.

已知曲线 $C : y = \frac { x ^ { 2 } } { 2 } , D$ ，为直线 $y = - { \frac { 1 } { 2 } }$ 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为 $A , B$

（1）证明：直线 $A B$ 过定点：

（2） 若以 $E { \Bigg ( } 0 , { \frac { 5 } { 2 } } { \Bigg ) }$ 为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.

如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)， $B ( \sqrt { 2 } , \frac { \pi } { 4 } )$ $C ( \sqrt { 2 } , \frac { 3 \pi } { 4 } )$ $D ( 2 , \pi )$ ，弧 $\widehat { A B }$

$\widehat { B C }$ $\widehat { C D }$ 所在圆的圆心分别是(1,0)， $( 1 , \frac { \pi } { 2 } ) , ( 1 , \pi )$ ，曲线 $M _ { 1 }$ 是弧 $\widehat { A B }$ ，曲线 $M _ { 2 }$ 是弧 $\widehat { B C }$ ，曲线 $M _ { 3 }$ 是弧 $\widehat { C D }$

（1）分别写出 $M _ { 1 }$ $M _ { 2 }$ $M _ { 3 }$ 的极坐标方程；

(2)曲线M由 $M _ { 1 } , \ M _ { 2 } , \ M _ { 3 }$ 构成，若点P在M上，且 $| O P | = \sqrt { 3 }$ ，求P的极坐标.【答案】① $\rho = 2 \cos \theta ( \theta \in [ 0 , \frac { \pi } { 4 } ] ) , \rho = 2 \sin \theta ( \theta \in [ \frac { \pi } { 4 } , \frac { 3 \pi } { 4 } ] ) , \rho = - 2 \cos \theta ( \theta \in [ \frac { 3 \pi } { 4 } , \pi ] )$ ② $( \sqrt { 3 } , \frac { \pi } { 6 } ) , ( \sqrt { 3 } , \frac { \pi } { 3 } ) , ( \sqrt { 3 } , \frac { 2 \pi } { 3 } ) , ( \sqrt { 3 } , \frac { 5 \pi } { 6 } )$

设 $x , y , z \in R$ ，且 $x + y + z = 1$

(1）求 $( x - 1 ) ^ { 2 } + ( y + 1 ) ^ { 2 } + ( z + 1 ) ^ { 2 }$ 的最小值；

(2)若 $( x - 2 ) ^ { 2 } + ( y - 1 ) ^ { 2 } + ( z - a ) ^ { 2 } \geq { \frac { 1 } { 3 } }$ 成立，证明： $a \leqslant - 3$ 或 $a \geq - 1$