2021 全国甲卷 数学

设集合 $M = \left\{ 1 , 3 , 5 , 7 , 9 \right\}$ $N = \{ x { | 2 x > 7 \} }$ ，则 M NI =（ ）

已知 $( 1 - i ) ^ { 2 } z = 3 + 2 i$ ，则z = （ ）

下列函数中是增函数的为（ ）

点(3,0)到双曲线 ${ \frac { x ^ { 2 } } { 1 6 } } - { \frac { y ^ { 2 } } { 9 } } = 1$ 的一条渐近线的距离为（ ）

青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据$L$和小数记录表的数据$V$的满足$L=5+\lg V$．已知某同学视力的五分记录法的数据为$4.9$，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（$\sqrt[10]{10}\approx1.259$）

在 $\triangle A B C$ 中，已知 $B = 1 2 0 ^ { \circ }$ $A C = { \sqrt { 1 9 } }$ $A B = 2$ ，则BC = （ ）

记 $S _ { n }$ 为等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前n项和.若 $S _ { 2 } = 4 , S _ { 4 } = 6$ ，则 $S _ { 6 } = ~ ( ~ )$

将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）

若 $\alpha \in \left( 0 , \frac { \pi } { 2 } \right)$ ， $\tan 2 \alpha = { \frac { \cos \alpha } { 2 - \sin \alpha } }$ ，则 tana = （ ）

若向量 $\vec { a } , \vec { b }$ 满足 $\left| { \vec { a } } \right| = 3 , \left| { \vec { a } } - { \vec { b } } \right| = 5 , { \vec { a } } \cdot { \vec { b } } = 1$ ，则 $\left| { \vec { b } } \right| =$

已知函数 $f \left( x \right) = 2 \cos \left( \omega x + \varphi \right)$ 的部分图像如图所示，则 $f \left( { \frac { \pi } { 2 } } \right) =$

已知 $F _ { 1 } , F _ { 2 }$ 为椭圆C： $\frac { x ^ { 2 } } { 1 6 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1$ 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且$\left| P Q \right| = \left| F _ { 1 } F _ { 2 } \right|$ ，则四边形 $P F _ { 1 } Q F _ { 2 }$ 的面积为

甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1>一级品</td><td rowspan=1 colspan=1>二级品</td><td rowspan=1 colspan=1>合计</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>甲机床</td><td rowspan=1 colspan=1>150</td><td rowspan=1 colspan=1>50</td><td rowspan=1 colspan=1>200</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>乙机床</td><td rowspan=1 colspan=1>120</td><td rowspan=1 colspan=1>80</td><td rowspan=1 colspan=1>200</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>合计</td><td rowspan=1 colspan=1>270</td><td rowspan=1 colspan=1>130</td><td rowspan=1 colspan=1>400</td></tr></table>

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?

（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

附： $K ^ { 2 } = \frac { n ( a d - b c ) ^ { 2 } } { ( a + b ) ( c + d ) ( a + c ) ( b + d ) }$

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1> $P { \big ( } K ^ { 2 } \geq k { \big ) }$ </td><td rowspan=1 colspan=1>0.050</td><td rowspan=1 colspan=1>0.010</td><td rowspan=1 colspan=1>0.001</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>k</td><td rowspan=1 colspan=1>3.841</td><td rowspan=1 colspan=1>6.635</td><td rowspan=1 colspan=1>10.828</td></tr></table>

设函数 $f ( x ) = a ^ { 2 } x ^ { 2 } + a x - 3 \ln x + 1$ ，其中 $a > 0$

(1）讨论f(x)的单调性；

（2）若 $y = f ( x )$ 的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围.

抛物线$C$的顶点为坐标原点$O$．焦点在$x$轴上，直线$l$：$x=1$交$C$于$P$，$Q$两点，且$OP\perp OQ$．已知点$M(2,0)$，且$\odot M$与$l$相切．
（1）求$C$，$\odot M$的方程；
（2）设$A_1,A_2,A_3$是$C$上的三个点，直线$A_1A_2$，$A_1A_3$均与$\odot M$相切．判断直线$A_2A_3$与$\odot M$的位置关系，并说明理由．

在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为$\rho = 2 \sqrt { 2 } \cos \theta$

（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

②设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足 $\overrightarrow { A P } = \sqrt { 2 } \overrightarrow { A M }$ ，写出Р的轨迹 $C _ { 1 }$ 的参数方程，并判断 $C .$ 与 $C _ { 1 }$ 是否有公共点