2021 全国乙卷 数学

设 $2 { \left( z + { \overline { { z } } } \right) } + 3 { \left( z - { \overline { { z } } } \right) } = 4 + 6 \mathrm { i }$ _，则 z = _（ _）

已知集合 $S = \left\{ s { \big | } s = 2 n + 1 , n \in \mathbf { Z } \right\}$ $T = \left\{ t { \big | } t = 4 n + 1 , n \in \mathbf { Z } \right\}$ ，则 $S { \mathsf { C } } T { \mathsf { = } } { \mathsf { \Omega } } ( { \mathsf { \Omega } } )$

已知命题 $p:\exists x\in\mathbf{R},\sin x<1$；命题 $q:\forall x\in\mathbf{R}$，$\mathrm{e}^{|x|}\geq1$，则下列命题中为真命题的是（　　）

设函数 $f ( x ) = { \frac { 1 - x } { 1 + x } }$ ，则下列函数中为奇函数的是（ ）

在正方体 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 中，P 为 $B _ { 1 } D _ { 1 }$ 的中点，则直线 $P B$ 与 $A D _ { 1 }$ 所成的角为（ ）

将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到 1 个项目，每个项目至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）

把函数y f x= ( )图像上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac { 1 } { 2 }$ 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 $\frac { \pi } { 3 }$ 个单位长度，得到函数 $y = \sin ( x - { \frac { \pi } { 4 } } )$ 的图像，则f x( ) =（ ）

在区间(0,1)与(1, 2) 中各随机取1个数，则两数之和大于 $\frac { 7 } { 4 }$ 的概率为（ ）

设 $a \neq 0$ ，若a为函数 $f \left( x \right) = a \left( x - a \right) ^ { 2 } \left( x - b \right)$ 的极大值点，则（ ）

设 $a = 2 \ln 1 . 0 1$ $b = \ln 1 . 0 2$ $c = \sqrt { 1 . 0 4 } - 1$ ．则（ ）

已知双曲线 $C : \frac { x ^ { 2 } } { m } - y ^ { 2 } = 1 ( m > 0 )$ 的一条渐近线为 ${ \sqrt { 3 } } x + m y = 0$ ，则 C 的焦距为

已知向量 $\overset { } { a } = ( 1 , 3 ) , \overset { } { b } = ( 3 , 4 )$ ，若 $( \vec { a } - \lambda \vec { b } ) \perp \vec { b }$ ，则 l= \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

记 $\triangle A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 $\sqrt { 3 }$ ， $B = 6 0 ^ { \circ } \ , a ^ { 2 } + c ^ { 2 } = 3 a c$ ，则 $b =$

以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）

图①

图②

图③

图④

图⑤

某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>旧设备</td><td rowspan=1 colspan=1>9.8</td><td rowspan=1 colspan=1>10.3</td><td rowspan=1 colspan=1>10.0</td><td rowspan=1 colspan=1>10.2</td><td rowspan=1 colspan=1>9.9</td><td rowspan=1 colspan=1>9.8</td><td rowspan=1 colspan=1>10.0</td><td rowspan=1 colspan=1>10.1</td><td rowspan=1 colspan=1>10.2</td><td rowspan=1 colspan=1>9.7</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>新设备</td><td rowspan=1 colspan=1>10.1</td><td rowspan=1 colspan=1>10.4</td><td rowspan=1 colspan=1>10.1</td><td rowspan=1 colspan=1>10.0</td><td rowspan=1 colspan=1>10.1</td><td rowspan=1 colspan=1>10.3</td><td rowspan=1 colspan=1>10.6</td><td rowspan=1 colspan=1>10.5</td><td rowspan=1 colspan=1>10.4</td><td rowspan=1 colspan=1>10.5</td></tr></table>

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 $\overline { { x } }$ 和 $\overline { { y } }$ ，样本方差分别记为 $s _ { 1 } ^ { 2 }$ 和 $s _ { 2 } ^ { 2 }$

（1）求 $\overline { { x } } \ : , \ : \ : \ : \overline { { y } } \ : , \ : \ : \ : s _ { 1 } ^ { 2 } \ : , \ : \ : \ : s _ { 2 } ^ { 2 }$

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 $\overline { { y } } - \overline { { x } } \geq 2 \sqrt { \frac { s _ { 1 } ^ { 2 } + s _ { 2 } ^ { 2 } } { 1 0 } }$ ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）

如图，四棱锥P ABCD- 的底面是矩形，PD ^底面ABCD， $P D = D C = 1$ ，M为BC的中点，且 $P B \perp A M$

（1）求 BC；

（2）求二面角A PM B- - 的正弦值

记 $S _ { n }$ 为数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前n项和， $b _ { n }$ 为数列 $\left\{ S _ { n } \right\}$ 的前n项积，已知 ${ \frac { 2 } { S _ { n } } } + { \frac { 1 } { b _ { n } } } = 2$

（1）证明：数列 $\left\{ b _ { n } \right\}$ 等差数列;是

（2）求 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的通项公式

设函数 f (x) = ln(a − x)，已知 x = 0 是函数 $y = x f ( x )$ 的极值点

（1）求 a；

②设函数 $g ( x ) = { \frac { x + f ( x ) } { x f ( x ) } }$ .证明:g(x)<1.

已知抛物线 $C : x ^ { 2 } = 2 p y \big ( p > 0 \big )$ 的焦点为F ，且F 与圆 $M : x ^ { 2 } + ( y + 4 ) ^ { 2 } = 1$ 上点的距离的最小值为4

（1）求 p ；

（2）若点P在M上，PA PB, 是C的两条切线，A B, 是切点，求 $\triangle P A B$ 面积的最大值

在直角坐标系xOy中，⊙C 的圆心为C(2,1)，半径为1.

（1）写出eC 的一个参数方程;

（2）过点 F 4,1作eC 的两条切线．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程

已知函数 $f ( x ) = \left| x - a \right| + \left| x + 3 \right|$

（1）当a =1时，求不等式 $f ( x ) \geq 6$ 的解集;

（2）若 $f ( x ) > - a$ ，求a的取值范围