2021 上海卷 数学

已知等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的首项为3，公差为2，则 $a _ { 1 0 } = 2 1$

【思路分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解

已知 z i= -1 3 ，则 $| { \overline { { z } } } - i | = \_ { \sqrt { 5 } }$

【思路分析】由已知求得z i- ，再由复数模的计算公式求解

不等式 $\dfrac{2x+5}{x-2}<1$ 的解集为______．

直线x=-2与直线 ${ \sqrt { 3 } } x - y + 1 = 0$ 的夹角为 $- { \frac { \pi } { 6 } } -$

【思路分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角

若方程组 $\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases}$ 无解，则 $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}=$ ______．

已知 $\left( 1 + x \right) ^ { n }$ 的展开式中，唯有 $x ^ { 3 }$ 的系数最大，则 $\left( 1 + x \right) ^ { n }$ 的系数和为　64

【思路分析】由已知可得 $n = 6$ ，令 $x = 1$ ，即可求得系数和

已知函数 $f ( x ) = 3 ^ { x } + { \frac { a } { 3 ^ { x } + 1 } } ( a > 0 )$ 的最小值为5，则 $a = \_ 9$

【思路分析】利用基本不等式求最值需要满足“一正、二定、三相等”，该题只需将函数解析式变形成 $f ( x ) = 3 ^ { x } + 1 + { \frac { a } { 3 ^ { x } + 1 } } - 1$ ，然后利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条件．

在无穷等比数列$\{a_n\}$中，$\lim\limits_{n\to\infty}(a_1-a_n)=4$，则$a_2$的取值范围是____．

某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合　23种　.

<table><tr><td colspan="1" rowspan="1">A运动</td><td colspan="1" rowspan="1">B运动</td><td colspan="1" rowspan="1">C运动</td><td colspan="1" rowspan="1">D运动</td><td colspan="1" rowspan="1">E运动</td></tr><tr><td colspan="1" rowspan="1">7点-8点</td><td colspan="1" rowspan="1">8点-9点</td><td colspan="1" rowspan="1">9点-10点</td><td colspan="1" rowspan="1">10点-11点</td><td colspan="1" rowspan="1">11点-12点</td></tr><tr><td colspan="1" rowspan="1">30分钟</td><td colspan="1" rowspan="1">20分钟</td><td colspan="1" rowspan="1">40分钟</td><td colspan="1" rowspan="1">30分钟</td><td colspan="1" rowspan="1">30分钟</td></tr></table>

【思路分析】由题意知至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中， AB、 DB、 EB的组合不符合题意，由此求出结果

已知椭圆 $x ^ { 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( 0 < b < 1 )$ 的左、右焦点为 $F _ { 1 } , \ F _ { 2 }$ ，以O为顶点， $F _ { 2 }$ 为焦点作抛物线交椭圆于 P，且 $\angle P F _ { 1 } F _ { 2 } = 4 5 ^ { \circ }$ ，则抛物线的准线方程是 $x = 1 - { \sqrt { 2 } }$

【思路分析】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线 $P F _ { 1 }$ 的方程并与抛物线联立，求出点P的坐标，由此可得 $P F _ { 2 } \perp F _ { 1 } F _ { 2 }$ ，进而可以求出 $P F _ { 1 } , \ P F _ { 2 }$ 的长度，再由椭圆的定义即可求解

已知 $\theta > 0$ ，存在实数 $\varphi$ ，使得对任意 $n \in N ^ { * }$ $\cos ( n \theta + \varphi ) < { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } }$ ，则q的最小值是$\frac { 2 \pi } { 5 }$

【思路分析】在单位圆中分析可得 $\theta > \frac { \pi } { 3 }$ ，由 $\frac { 2 \pi } { \theta } \in N ^ { * }$ ，即 $\theta = \frac { 2 \pi } { k }$ $k \in N ^ { * }$ ，即可求得 $\theta$ 的最小值

下列函数中，在定义域内存在反函数的是(　　)A $f ( x ) = x ^ { 2 }$ B． $f ( x ) = \sin { x }$ C $f ( x ) = 2 ^ { x }$ D． $f ( x ) = 1$

【思路分析】根据函数的定义以及映射的定义即可判断选项是否正确

已知集合 $A=\{x\mid x>-1,\ x\in R\}$，$B=\{x\mid x^{2}-x-2<0,\ x\in R\}$，则下列关系中，正确的是（　　）

已知函数 $y = f ( x )$ 的定义域为 R ，下列是f x( ) 无最大值的充分条件是(　　)

在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 为 $BC$ 中点，$E$ 为 $AD$ 中点，则以下结论：①存在 $\triangle ABC$，使得 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CE} = 0$；②存在三角形 $\triangle ABC$，使得 $\overrightarrow{CE} \parallel (\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CA})$；它们的成立情况是（　　）

（14分）已知 A 、 B 、C 为 $\Delta A B C$ 的三个内角， a、b、c 是其三条边， $a = 2$ $\cos C = - { \frac { 1 } { 4 } }$

（1）若 $\sin A = 2 \sin B$ ，求 $b , \ c$

（2）若 $\cos ( A - { \frac { \pi } { 4 } } ) = { \frac { 4 } { 5 } }$ ，求c ．

【思路分析】①由已知利用正弦定理即可求解b 的值；利用余弦定理即可求解c 的值

（2）根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得cosA，sinA，$\sin C$ 的值，进而根据正弦定理可得c 的值

（18分）已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n \neq 0$，对任意 $n \geq 2$，$a_n$ 和 $a_{n+1}$ 中存在一项使其为另一项与 $a_{n-1}$ 的等差中项．
（1）已知 $a_1 = 5$，$a_2 = 3$，$a_4 = 2$，求 $a_3$ 的所有可能取值；
（2）已知 $a_1 = a_4 = a_7 = 0$，$a_2$、$a_5$、$a_8$ 为正数，求证：$a_2$、$a_5$、$a_8$ 成等比数列，并求出公比 $q$；
（3）已知数列中恰有3项为0，即 $a_r = a_s = a_t = 0$，$2 < r < s < t$，且 $a_1 = 1$，$a_2 = 2$，求 $a_{r+1} + a_{s+1} + a_{t+1}$ 的最大值．