2021 浙江卷 数学

设集合 $A = \left\{ x | x \geq 1 \right\}$ $B = \left\{ x | - 1 < x < 2 \right\}$ ，则A∩B=（）

已知 $a \in R$ $\left( 1 + a i \right) i = 3 + i$ ，(i为虚数单位)，则a=（）

已知非零向量 $\vec { a } , \vec { b } , \vec { c }$ ，则 $\overset { \cdot \to } a \cdot \overset { \to } c = \overset { \to } b \cdot \overset { \to } c$ ”是 $\overset { } a = \overset { } b$ ”的（）

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

正视图

侧视图

俯视图

若实数x，y满足约束条件 $\left\{ \begin{array} { l l } { x + 1 \geq 0 } \\ { x - y \leq 0 } \\ { 2 x + 3 y - 1 \leq 0 } \end{array} \right.$ ，则 $z = x - \frac { 1 } { 2 } y$ 的最小值是（）

如图已知正方体 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ ，M，N分别是 $A _ { 1 } D$ $D _ { 1 } B$ 的中点，则（）

已知函数 $f ( x ) = x ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 4 } } , g ( x ) = \sin x$ ，则图象为如图的函数可能是（）

已知 $\alpha , \beta , \gamma$ 是互不相同的锐角，则在sin α cos β,sin β cos γ, sin γ cos α三个值中，大于 $\frac { 1 } { 2 }$ 的个数的最大值是（）

已知 $a , b \in \mathbb { R } , a b > 0$ ，函数 $f { \big ( } x { \big ) } = a x ^ { 2 } + b ( x \in \mathbf { R } )$ .若 $f ( s - t ) , f ( s ) , f ( s + t )$ 成等比数列，则平面上点(s,t)的轨迹是（）

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1,a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+\sqrt{a_n}}\left(n\in\mathbb{N}^*\right)$. 记数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，则（ ）

已知 $a \in \mathbb { R }$ ，函数 $f ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { x ^ { 2 } - 4 , x > 2 } \\ { \left| x - 3 \right| + a , x \leq 2 . } \end{array} \right. }$ 若 $f \left[ f \left( { \sqrt { 6 } } \right) \right] = 3$ ，则a=

已知多项式 $( x - 1 ) ^ { 3 } + ( x + 1 ) ^ { 4 } = x ^ { 4 } + a _ { 1 } x ^ { 3 } + a _ { 2 } x ^ { 2 } + a _ { 3 } x + a _ { 4 }$ ，则 $a _ { 1 } =$ $a _ { 2 } + a _ { 3 } + a _ { 4 } =$ 【答案】 (1). 5; (2). 10.

在△ABC中， $\angle B = 6 0 ^ { \circ } , A B = 2$ ，M是BC的中点， $A M = 2 { \sqrt { 3 } }$ ，则AC =$\cos \angle M A C =$

已知椭圆 ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1 ( a > b > 0 )$ ，焦点 $F _ { 1 } ( - c , 0 )$ $F _ { 2 } ( c , 0 ) \ ( c > 0 )$ ，若过 $F _ { 1 }$ 的直线和圆$\left( x - { \frac { 1 } { 2 } } c \right) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = c ^ { 2 }$ 相切，与椭圆在第一象限交于点P，且 $P F _ { 2 } \perp x$ 轴，则该直线的斜率是

，椭圆的离心率是【答案】 (1). $\frac { 2 { \sqrt { 5 } } } { 5 }$ (2). $\frac { \sqrt { 5 } } { 5 }$

已知平面向量 $\stackrel { } { a } , \stackrel { } { b } , \stackrel { } { c } , ( \stackrel { } { c } \neq \stackrel { } { 0 } )$ 满足 $\left| { \vec { a } } \right| = 1 , \left| { \vec { b } } \right| = 2 , { \vec { a } } \cdot { \vec { b } } = 0 , \left( { \vec { a } } - { \vec { b } } \right) \cdot { \vec { c } } = 0$ .记向量 $\vec { d }$ 在 $\vec { a } , \vec { b }$ 方向上的投影分别为x，y, $\stackrel { } { d } - \stackrel { } { a }$ 在 $\vec { c }$ 方向上的投影为z，则 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 }$ 的最小值为

设函数 $f \left( x \right) = \sin x + \cos x ( x \in \mathrm { R } )$

（1）求函数 $y = \left[ f { \Biggl ( } x + { \frac { \pi } { 2 } } { \Biggr ) } \right] ^ { 2 }$ 的最小正周期；

(2) 求函数 $y = f ( x ) f { \overset { \underset { \textstyle } { } } { \left( x - { \frac { \pi } { 4 } } \right) } } \not \equiv \left. 0 , { \frac { \pi } { 2 } } \right.$ 上的最大值.

如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是平行四边形，

$\angle A B C = 1 2 0 ^ { \circ } , A B = 1 , B C = 4 , P A = \sqrt { 1 5 }$ ，M，N分别为BC,PC的中点， $P D \perp D C , P M \perp M D$

（1）证明： $A B \perp P M$

(2) 求直线 $A N $ 平面 PDM 所成角的正弦值.

已知数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前n项和为 $S _ { n }$ ， $a _ { 1 } = - \frac { 9 } { 4 }$ ，且 $4 S _ { n + 1 } = 3 S _ { n } - 9$

（1） 求数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的通项；

② 设数列 $\left\{ b _ { n } \right\}$ 满足 $3 b _ { n } + ( n - 4 ) a _ { n } = 0 ( n \in N ^ { * } )$ ，记 $\left\{ b _ { n } \right\}$ 的前n项和为 $T _ { n }$ ，若 $T _ { n } \leq \lambda b _ { n }$ 对任意 $n \in \mathbf { N } ^ { * }$ 恒 成立，求实数λ的取值范围.