2021 全国乙卷 · 文 数学

已知全集 $U=\{1,2,3,4,5\}$ ，集合 $M=\{1,2\}, ~ N=\{3,4\}$ ，则 $C_{U}(M \cup N)=$（ ）

设 $i z=4+3 i$ ，则 $z=()$

已知命题 $p: \exists x \in R, \sin x<1$ ；命题 $q: \forall x \in R, e^{|x|} \geq 1$ ，则下列命题中为真命题的是（

函数 $f(x)=\sin \frac{x}{3}+\cos \frac{x}{3}$ 的最小正周期和最大值分别是（ ）

若 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y \geq 4, \\ x-y \leq 2, \text { 则 } z=3 x+y \text { 的最小值为 } \\ y \leq 3,\end{array}\right.$

$\cos ^{2} \frac{\pi}{12}-\cos ^{2} \frac{5 \pi}{12}=$

在区间 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 随机取 1 个数，则取到的数小于 $\frac{1}{3}$ 的概率为

下列函数中最小值为4的是（ ）

设函数 $f(x)=\frac{1-x}{1+x}$ ，则下列函数中为奇函数的是（ ）

在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$P$ 为 $B_{1} D_{1}$ 的中点，则直线 $P B$ 与 $A D_{1}$ 所成的角为

设 $B$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$ 的上顶点，点 $P$ 在 $C$ 上，则 $|P B|$ 的最大值为

设 $a \neq 0$ ，若 $x=a$ 为函数 $f(x)=a(x-a)^{2}(x-b)$ 的极大值点，则

已知向量 $\vec{a}=(2,5), \vec{b}=(\lambda, 4)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\lambda=$

双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$ 的右焦点到直线 $x+2 y-8=0$ 的距离为 $\_\_\_\_$ ．

记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，面积为 $\sqrt{3}, \quad B=60^{\circ}$ ， $a^{2}+c^{2}=3 a c$ ，则 $b=$ $\_\_\_\_$ ．

以图（1）为正视图，在图（2）（3）（4）（5）中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 $\_\_\_\_$ （写出符合要求的一组答案即可）．

图（1）

图（2）

图（3）

图（4）

图（5）

设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 1 的等比数列，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{n}=\frac{n a_{n}}{3}$ 。已知 $a_{1}, 3 a_{2}, 9 a_{3}$ ，成等差数列．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）记 $S_{n}$ ，和 $T_{n}$ 分别为 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．证明：$T_{n}<\frac{S_{n}}{2}$ ．

已知抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为 2 ．
（1）求 $C$ 的方程，
（2）已知 $O$ 为坐标原点，点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 满足 $\overrightarrow{P Q}=9 \overrightarrow{Q F}$ ，求直线 $O Q$ 斜率的最大值

在直角坐标系 $x O y$ 中，$\odot C$ 的圆心为 $C(2,1)$ ，半径为 1 ．
（1）写出 $\odot C$ 的一个参数方程；
（2）过点 $F(4,1)$ 作 $\odot C$ 的两条切线．以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程．