辅助角公式　·　历年高考数学真题与解析

14．已知函数 $f(x)=\sin \omega x+\cos \omega x(\omega>0), x \in \mathbf{R}$ ，若函数 $f(x)$ 在区间 $(-\omega, \omega)$ 内单调递增，且函数 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=\omega$ 对称，则 $\omega$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

16．（本小题满分 12 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 $\boldsymbol{m}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right), \boldsymbol{n}=(\sin \mathrm{x}, \cos \mathrm{x}), \mathrm{x} \in(0$ ，

$\frac{\pi}{2}$ ）。
（1）若 $\boldsymbol{m} \perp \boldsymbol{n}$ ，求 $\tan \mathrm{x}$ 的值（2）若 $\boldsymbol{m}$ 与 $\boldsymbol{n}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$ ，求 x 的值。

## 17．（本小题满分12分）

某工厂 36 名工人的年龄数据如下表。

（1）用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为 44 ，列出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的平均值 $\bar{x}$ 和方差 $s^{2}$ ；
（3）36名工人中年龄在 $\bar{x}-s$ 与 $\bar{x}+s$ 之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到 $0.01 \%$ ）？

## 18．（本小题满分 14 分）

如图2，三角形 $P D C$ 所在的平面与长方形 $A B C D$ 所在的平面垂直，$P D=P C=4$ ， $A B=6, B C=3$ ．点 $E$ 是 $C D$ 边的中点，点 $F, G$ 分别在线段 $A B, B C$ 上，且 $A F=2 F B$ ， $C G=2 G B$ ．
（1）证明：$P E \perp F G$ ；
（2）求二面角 $P-A D-C$ 的正切值；
（3）求直线 $P A$ 与直线 $F G$ 所成角的余弦值．

图2

## 19．（本小题满分 14 分）

设 $\mathrm{a}>1$ ，函数 $f(x)=\left(1+x^{2}\right) e^{x}-a$ 。
（1）求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）证明：$f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上仅有一个零点；
（3）
若曲线 $y=f(x)$ 在点 $P$ 处的切线与 $x$ 轴平行，且在点 $M(m, n)$ 处的切线与直线 $O P$ 平行（ $O$ 是坐标原点），证明：$m \leq \sqrt[3]{a-\frac{2}{e}}-1$

## 20．（本小题满分 14 分）

已知过原点的动直线 $l$ 与圆 $C_{1}: x^{2}+y^{2}-6 x+5=0$ 相交于不同的两点 $A, B$ ．
（1）求圆 $C_{1}$ 的圆心坐标；
（2）求线段 $A B$ 的中点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；
（3）是否存在实数 $k$ ，使得直线 $L: y=k(x-4)$ 与曲线 $C$ 只有一个交点：若存在，求出 $k$ 的取值范围；若不存在，说明理由．

17．（12 分）（2008 • 山东）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{3} \sin (\omega \mathrm{x}+\phi)-\cos (\omega \mathrm{x}+\phi)(0< \phi<\pi, \omega>0$ ）为偶函数，且函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 图象的两相邻对称轴间的距离为 $\frac{\pi}{2}$ ．
（I）求 $f$（ $\frac{\pi}{8}$ ）的值；
（II）将函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 $\mathrm{y}=\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 的图象，求 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 的单调递减区间。