2013_上海卷 (2013·理)
21．（6分 +8 分）已知函数 $f(x)=2 \sin (\omega x)$ ，其中常数 $\omega>0$ ；
（1）若 $y=f(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{2 \pi}{3}\right]$ 上单调递增，求 $\omega$ 的取值范围；
（2）令 $\omega=2$ ，将函数 $y=f(x)$ 的图像向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 $y=g(x)$ 的图像，区间 $[a, b](a, b \in R$ 且 $a
【解答】（1）因为 $\omega>0$ ，根据题意有
$$ \left\{\begin{array}{l} -\frac{\pi}{4} \omega \geq-\frac{\pi}{2} \\ \frac{2 \pi}{3} \omega \leq \frac{\pi}{2} \end{array} \Rightarrow 0<\omega \leq \frac{3}{4}\right. $$
②$f(x)=2 \sin (2 x), g(x)=2 \sin \left(2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right)+1=2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)+1$
$g(x)=0 \Rightarrow \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2} \Rightarrow x=k \pi-\frac{\pi}{3}$ 或 $x=k \pi-\frac{7}{12} \pi, k \in Z$,
即 $g(x)$ 的零点相离间隔依次为 $\frac{\pi}{3}$ 和 $\frac{2 \pi}{3}$ ，
故若 $y=g(x)$ 在 $[a, b]$ 上至少含有 30 个零点，则 $b-a$ 的最小值为 $14 \times \frac{2 \pi}{3}+15 \times \frac{\pi}{3}=\frac{43 \pi}{3}$