（14分）（2015 · 广东）设 a 为实数，函数 f…——2015 高考数学第 21 题答案解析

【解答】
（14分）（ 2015 •广东）设 a 为实数，函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}-\mathrm{a})^{2}+|\mathrm{x}-\mathrm{a}|-\mathrm{a}(\mathrm{a}-1)$ 。
（1）若 $f(0) \leq 1$ ，求 $a$ 的取值范围；
（2）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（3）当 $a \geq 2$ 时，讨论 $f(x)+\frac{4}{x}$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内的零点个数．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的判断与证明；根的存在性及根的个数判断。
【专题】开放型；函数的性质及应用；导数的综合应用．
【分析】（1）利用 $\mathrm{f}(0) \leq 1$ ，得到 $|\mathrm{a}|+\mathrm{a}-1 \leq 0$ ，对 a 分类讨论求解不等式的解集即可。
（2）化简函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的解析式，通过当 $\mathrm{x}<\mathrm{a}$ 时，当 $\mathrm{x} \geq \mathrm{a}$ 时，利用二次函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的对称轴求解函数的单调区间即可。

（3）化简 $\mathrm{F}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x})+\frac{4}{\mathrm{x}}$ ，求出函数的导数，利用导函数的符号，通过 a 的讨论判断函数的单调性，然后讨论函数的零点的个数．
【解答】解：（1）若 $f(0) \leq 1$ ，即：$a^{2}+|a|-a(a-1) \leq 1$ ．可得 $|a|+a-1 \leq 0$ ，当 $a \geq 0$ 时，$a \leqslant \frac{1}{2}$ ，可得 $a \in\left[0, \frac{1}{2}\right]$ ．
当 $a<0$ 时，$|a|+a-1 \leq 0$ ，恒成立．
综上 $\mathrm{a} \leqslant \frac{1}{2}$ 。
$\therefore \mathrm{a}$ 的取值范围：$\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$ ；
（2）函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}-(2 a+1) x+2 a, x$\left\{\begin{array}{l}{\left[x-\left(a+\frac{1}{2}\right)\right]^{2}-\frac{(2 a-1)^{2}}{4}, \quad x当 $xa$ ， $y=f(x)$ 在 $(-\infty, a)$ 时是减函数，
当 $x \geq a$ 时，函数 $f(x)$ 的对称轴为：$x=\frac{2 a-1}{2}=a-\frac{1}{2}$y=f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 时是增函数，
③$F(x)=f(x)+\frac{4}{x}=\left\{\begin{array}{l}x^{2}-(2 a+1) \quad x+\frac{4}{x}+2 a, \quad x$F^{\prime} \quad(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x-(2 a+1)-\frac{4}{x^{2}}=\frac{2 x^{3}-(2 a+1) x^{2}-4}{x^{2}}, & x当 $x所以，函数 $\mathrm{F}(\mathrm{x})$ 在 $(0, \mathrm{a})$ 上是减函数．
当 $x \geq a$ 时，因为 $a \geq 2$ ，所以，$F^{\prime}(x)=\frac{2 x^{3}+(1-2 a) x^{2}-4}{x^{2}}=$
$\frac{2 x^{2}(x-a)+\left(x^{2}-4\right)}{x^{2}} \geqslant 0$,

所以，函数 $\mathrm{F}(\mathrm{x})$ 在 $(\mathrm{a},+\infty)$ 上是增函数．
$F(a)=a-a^{2}+\frac{4}{a}$ 。当 $a=2$ 时，$F(2)=0$ ，此时 $F(x)$ 有一个零点，当 $a>2$ 时，$F(a)=a-a 2+\frac{4}{a}$,
$\mathrm{F}^{\prime}(\mathrm{a})=1-2 \mathrm{a}-\frac{4}{\mathrm{a}^{2}}=\frac{-2 \mathrm{a}^{3}+\mathrm{a}^{2}-4}{\mathrm{a}^{2}}=\frac{\mathrm{a}^{2}(1-\mathrm{a})-\left(\mathrm{a}^{3}+4\right)}{\mathrm{a}^{2}}<0$ ．
所以 $\mathrm{F}(\mathrm{ah})$ 在 $(2,+\infty)$ 上是减函数，
所以 $F(a)当 $x>0$ 且 $x \rightarrow 0$ 时，$F(x) \rightarrow+\infty$ ；当 $x \rightarrow+\infty$ 时，$F(x) \rightarrow+\infty$ ，所以函数 $F(x)$ 有两个零点．综上所述，当 $\mathrm{a}=2$ 时， $\mathrm{F}(\mathrm{x})$ 有一个零点， $\mathrm{a}>2$ 时 $\mathrm{F}(\mathrm{x})$ 有两个零点。
【点评】本题考查的知识点比较多，包括绝对值不等式的解法，函数的零点，函数的导数以及导数与函数的单调性的关系，考查分类讨论思想的应用，函数与方程的思想，转化思想的应用，也考查化归思想的应用。