已知函数 f(x)=(x-1) e^ x -a x^ 2…——2021 高考数学第 22 题答案解析

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析。

【解析】

【分析】（1）首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；
②由题意结合①中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论．
【详解】①由函数的解析式可得：$f^{\prime}(x)=x\left(e^{x}-2 a\right)$ ，
当 $a \leq 0$ 时，若 $x \in(-\infty, 0)$ ，则 $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减，
若 $x \in(0,+\infty)$ ，则 $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增；
当 $0<a<\frac{1}{2}$ 时，若 $x \in(-\infty, \ln (2 a))$ ，则 $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增，
若 $x \in(\ln (2 a), 0)$ ，则 $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减，
若 $x \in(0,+\infty)$ ，则 $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增；
当 $a=\frac{1}{2}$ 时，$f^{\prime}(x) \geq 0, f(x)$ 在 $R$ 上单调递增；
当 $a>\frac{1}{2}$ 时，若 $x \in(-\infty, 0)$ ，则 $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增，
若 $x \in(0, \ln (2 a))$ ，则 $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减，
若 $x \in(\ln (2 a),+\infty)$ ，则 $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增；
（2）若选择条件①：
由于 $\frac{1}{2}<a$ ，$\frac{e^{2}}{2}$ ，故 $1<2 a \leq e^{2}$ ，则 $b>2 a>1, f(0)=b-1>0$ ，
而 $f(-b)=(-1-b) e^{-b}-a b^{2}-b<0$ ，
而函数在区间 $(-\infty, 0)$ 上单调递增，故函数在区间 $(-\infty, 0)$ 上有一个零点．

$$ \begin{aligned} & f(\ln (2 a))=2 a[\ln (2 a)-1]-a[\ln (2 a)]^{2}+b \\ & >2 a[\ln (2 a)-1]-a[\ln (2 a)]^{2}+2 a \\ & =2 a \ln (2 a)-a[\ln (2 a)]^{2} \\ & =a \ln (2 a)[2-\ln (2 a)] \end{aligned} $$

由于 $\frac{1}{2}<a_{0,} \frac{e^{2}}{2}, 1<2 a \leq e^{2}$ ，故 $a \ln (2 a)[2-\ln (2 a)] \geq 0$ ，
结合函数的单调性可知函数在区间 $(0,+\infty)$ 上没有零点．
综上可得，题中的结论成立．
若选择条件②：
由于 $0<a<\frac{1}{2}$ ，故 $2 a<1$ ，则 $f(0)=b-1 \leq 2 a-1<0$ ，
当 $b \geq 0$ 时，$e^{2}>4,4 a<2, f(2)=e^{2}-4 a+b>0$ ，
而函数在区间 $(0,+\infty)$ 上单调递增，故函数在区间 $(0,+\infty)$ 上有一个零点．
当 $b<0$ 时，构造函数 $H(x)=e^{x}-x-1$ ，则 $H^{\prime}(x)=e^{x}-1$ ，
当 $x \in(-\infty, 0)$ 时，$H^{\prime}(x)<0, H(x)$ 单调递减，
当 $x \in(0,+\infty)$ 时，$H^{\prime}(x)>0, H(x)$ 单调递增，
注意到 $H(0)=0$ ，故 $H(x) \geq 0$ 恒成立，从而有：$e^{x} \geq x+1$ ，此时：
$f(x)=(x-1) e^{x}-a x^{2}-b \geq(x-1)(x+1)-a x^{2}+b=(1-a) x^{2}+(b-1)$,
当 $x>\sqrt{\frac{1-b}{1-a}}$ 时，$(1-a) x^{2}+(b-1)>0$ ，
取 $x_{0}=\sqrt{\frac{1-b}{1-a}}+1$ ，则 $f\left(x_{0}\right)>0$ ，
即：$f(0)<0, f\left(\sqrt{\frac{1-b}{1-a}}+1\right)>0$ ，
而函数在区间 $(0,+\infty)$ 上单调递增，故函数在区间 $(0,+\infty)$ 上有一个零点．

$$ f(\ln (2 a))=2 a[\ln (2 a)-1]-a[\ln (2 a)]^{2}+b $$

$\leq 2 a[\ln (2 a)-1]-a[\ln (2 a)]^{2}+2 a$
$=2 a \ln (2 a)-a[\ln (2 a)]^{2}$
$=a \ln (2 a)[2-\ln (2 a)]$ ，
由于 $0<a<\frac{1}{2}, 0<2 a<1$ ，故 $a \ln (2 a)[2-\ln (2 a)]<0$ ，
结合函数的单调性可知函数在区间 $(-\infty, 0)$ 上没有零点．
综上可得，题中的结论成立．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题。（4）考查数形结合思想的应用．