（12 分）设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设…——2014 高考数学第 20 题答案解析

【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差。

【专题】51：概率与统计．
【分析】记 $\mathrm{A}_{\mathrm{i}}$ 表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备， $\mathrm{i}=0,1,2$ ， B 表示事件：甲需要设备， C 表示事件，丁需要设备， D 表示事件：同一工作日至少 3人需使用设备
（I）把 4 个人都需使用设备的概率、 4 个人中有 3 个人使用设备的概率相加，即得所求．
（II）X的可能取值为 $0,1,2,3,4$ ，分别求出 $\mathrm{PX}_{\mathrm{i}}$ ，再利用数学期望公式计算

即可。
【解答】解：由题意可得＂同一工作日至少 3 人需使用设备＂的概率为

$$ \begin{aligned} & 0.6 \times 0.5 \times 0.5 \times 0.4+(1-0.6) \times 0.5 \times 0.5 \times 0.4+0.6 \times(1-0.5) \times 0.5 \times 0.4+0.6 \times 0.5 \times(1) \\ & \quad-0.5) \times 0.4+0.6 \times 0.5 \times 0.5 \times(1-0.4)=0.31 . \\ & (I I) X \text { 的可能取值为 } 0,1,2,3,4 \\ & P(X=0)=(1-0.6) \times 0.5^{2} \times(1-0.4)=0.06 \\ & P(X=1)=0.6 \times 0.5^{2} \times(1-0.4)+(1-0.6) \times 0.5^{2} \times 0.4+(1-0.6) \times 2 \times 0.5^{2} \times(1- \\ & \quad 0.4)=0.25 \\ & P(X=4)=P\left(A_{2} \bullet B \bullet C\right)=0.5^{2} \times 0.6 \times 0.4=0.06, \\ & P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25, \\ & P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06-0.25-0.2 \\ & \quad 5-0.06=0.38 . \end{aligned} $$

故数学期望EX＝0×0．06＋1×0．25＋2 × $0.38+3 \times 0.25+4 \times 0.06=2$
【点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望，关键是找到独立的事件 ，计算要有耐心，属于难题．