（本小题满分 14 分） 设函数 f(x)=a x^ n…——2012 高考数学第 22 题答案解析

【解析】（1）因为 $f(1)=b$ ，所以由点 $(1, \mathrm{~b})$ 在直线 $\mathrm{x}+\mathrm{y}=1$ 上，可得 $1+b=1$ ，解得 $b=0$ ，
因为 $f^{\prime}(x)=a n x^{n-1}-a(n+1) x^{n}$ ，所以 $f^{\prime}(1)=-a$ ，
又因为切线 $\mathrm{x}+\mathrm{y}=1$ 的斜率为 -1 ，所以 $a=1, b=0$ ．
②由（1）知，$f(x)=x^{n}(1-x)=x^{n}-x^{n+1}, f^{\prime}(x)=(n+1) x^{n-1}\left(\frac{n}{n+1}-x\right)$ ，
令 $f^{\prime}(x)=0$ ，解得 $x=\frac{n}{n+1}$ ，即 $f^{\prime}(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有唯一的零点 $x_{n}=\frac{n}{n+1}$ ，
在 $\left(0, \frac{n}{n+1}\right)$ 上，$f^{\prime}(x)>0$ ，故 $f(x)$ 单调迷增；
在 $\left(\frac{n}{n+1},+\infty\right)$ 上，$f^{\prime}(x)<0$ ，故 $f(x)$ 单调迷减，
所以函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的最大值为 $f\left(\frac{n}{n+1}\right)=\frac{n^{n}}{(n+1)^{n+1}}$ ．
（3）令 $\varphi(t)=\ln t-1+\frac{1}{t}(t>0)$ ，则 $\varphi^{\prime}(t)=\frac{1}{t}-\frac{1}{t^{2}}=\frac{t-1}{t^{2}}(t>0)$ ，
在 $(0,1)$ 上，$\varphi^{\prime}(t)<0$ ，故 $\varphi(t)$ 单调递减；在 $(1,+\infty)$ 上，$\varphi^{\prime}(t)>0$ ，故 $\varphi(t)$ 单调递增，
所以 $\varphi(t)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的最小值为 $\varphi(1)=0$ ，所以 $\varphi(t)>0,(t>1)$ ，
即 $\ln t>1-\frac{1}{t}(t>1)$ ．
令 $t=1+\frac{1}{n}$ ，得 $\ln \frac{n+1}{n}>\frac{1}{n+1}$ ，即 $\ln \left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}>\ln \mathrm{e}$ ，
所以 $\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}>\mathrm{e}$ ，即 $\frac{n^{n}}{(n+1)^{n+1}}<\frac{1}{n \mathrm{e}}$ ．
由（II）知，$f(x) \leq \frac{n^{n}}{(n+1)^{n+1}}<\frac{1}{n \mathrm{e}}$ ，故所证不等式成立。
【考点定位】本小题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性、最大值、证明不等式等问题，考查同学们分析问题和解决问题的能力．