2012 高考数学第 22 题答案解析

22．（本小题满分 14 分）
设函数 $f(x)=a x^{n}(1-x)+b(x>0), \mathrm{n}$ 为正整数， $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 为常数，曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $(1, \mathrm{f}(1))$ 处的切线方程为 $x+y=1$ ．
（1）求 $a, b$ 的值；
（2）求函数 $f(x)$ 的最大值

（3）证明：$f(x)<\frac{1}{n e}$ ．