20．（14分）（2016•天津）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}-1)^{3}-\mathrm{ax}-\mathrm{b}, ~ \mathrm{x} \in \mathrm{R}$，其中 $\mathrm{a}, ~ \mathrm{~b} \in \mathrm{R}$。
（1）求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若 $f(x)$ 存在极值点 $x_{0}$，且 $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{0}\right)$，其中 $x_{1} \neq x_{0}$，求证：$x_{1}+2 x_{0}=3$；
③设 $\mathrm{a}>0$，函数 $\mathrm{g}(\mathrm{x})=|\mathrm{f}(\mathrm{x})|$，求证： $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 在区间 $[0,2]$ 上的最大值不小于 $\frac{1}{4}$．
2016年天津市高考数学试卷（理科）
(1) 当 $a \leqslant 0$ 时，$f^{\prime}(x) \geqslant 0, f(x)$ 在 $R$ 上递增； 当 $a>0$ 时，当 $x>1+\sqrt{\frac{a}{3}}$ 或 $x<1-\sqrt{\frac{a}{3}}$ 时，$f^{\prime}(x)>0$， 当 $1-\sqrt{\frac{\mathrm{a}}{3}}<\mathrm{x}<1+\sqrt{\frac{\mathrm{a}}{3}}, \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})<0$， 可得 $f(x)$ 的增区间为 $\left(-\infty, 1-\sqrt{\frac{a}{3}}\right),\left(1+\sqrt{\frac{a}{3}},+\infty\right)$，减区间为 $\left(1-\sqrt{\frac{a}{3}}, 1+\sqrt{\frac{a}{3}}\right.$ ）; (2) $x_{1}+2 x_{0}=3$; (3) $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 在区间 $[0,2]$ 上的最大值不小于 $\frac{1}{4}$