（21）（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)=x^…——2009 高考数学第 21 题答案解析

【解答】
解：
（I）当 $\mathrm{a}=1$ 时，对函数 $f(x)$ 求导数，得 $f^{\prime}(x)=3 x^{2}-6 x-9$ ．
令 $f^{\prime}(x)=0$ ，解得 $x_{1}=-1, x_{2}=3$ 。

列表讨论 $f(x), f^{\prime}(x)$ 的变化情况：

所以，$f(x)$ 的极大值是 $f(-1)=6$ ，极小值是 $f(3)=-26$ ．
（II）$f^{\prime}(x)=3 x^{2}-6 a x-9 a^{2}$ 的图像是一条开口向上的抛物线，关于 $\mathrm{x}=\mathrm{a}$ 对称．
若 $\frac{1}{4}$f^{\prime}(x)$ 在 $[1,4 \mathrm{a}]$ 上的最小值是 $f^{\prime}(1)=3-6 a-9 a^{2}$ ，最大值是 $f^{\prime}(4 a)=15 a^{2}$ ．
由 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leq 12 a$ ，得 $-12 a \leq 3 x^{2}-6 a x-9 a^{2} \leq 12 a$ ，于是有
$f^{\prime}(1)=3-6 a-9 a^{2} \geq-12 a$ ，且 $f^{\prime}(4 a)=15 a^{2} \leq 12 a$ ．
由 $f^{\prime}(1) \geq-12 a$ 得 $-\frac{1}{3} \leq a \leq 1$ ，由 $f^{\prime}(4 a) \leq 12 a$ 得 $0 \leq a \leq \frac{4}{5}$ ．
所以 $a \in\left(\frac{1}{4}, 1\right] \cap\left[-\frac{1}{3}, 1\right] \cap\left[0, \frac{4}{5}\right]$ ，即 $a \in\left(\frac{1}{4}, \frac{4}{5}\right]$ ．
若 $\mathrm{a}>1$ ，则 $\left|f^{\prime}(a)\right|=12 a^{2}>12 a$ 。故当 $x \in[1,4 a]$ 时 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leq 12 a$ 不恒成立．
所以使 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leq 12 a(x \in[1,4 a])$ 恒成立的 a 的取值范围是 $\left(\frac{1}{4}, \frac{4}{5}\right]$ ．