2008 ??高考数学 2008_天津卷 (2008·文) 第 21 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

（21）（本小题满分 14 分）
已知函数 $f(x)=x^{4}+a x^{3}+2 x^{2}+b(x \in R)$ ，其中 $a, b \in R$ ．
（I）当 $a=-\frac{10}{3}$ 时，讨论函数 $f(x)$ 的单调性；
（II）若函数 $f(x)$ 仅在 $x=0$ 处有极值，求 $a$ 的取值范围；
（III）若对于任意的 $a \in[-2,2]$ ，不等式 $f(x) \leq 1$ 在 $[-1,1]$ 上恒成立，求 $b$ 的取值范围．

Accepted Answer

【解答】 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识 ，考查综合分析和解决问题的能力。满分 14 分。 （ I ）解：$f^{\prime}(x)=4 x^{3}+3 a x^{2}+4 x=x\left(4 x^{2}+3 a x+4\right)$ ． 当 $a=-\frac{10}{3}$ 时，$f^{\prime}(x)=x\left(4 x^{2}-10 x+4\right)=2 x(2 x-1)(x-2)$ ． 令 $f^{\prime}(x)=0$ ，解得 $x_{1}=0, x_{2}=\frac{1}{2}, x_{3}=2$ 。 当 $x$ 变化时，$f^{\prime}(x), ~ f(x)$ 的变化情况如下表： | $x$ | （ $-\infty, 0$ ） | 0 | $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ | $\frac{1}{2}$ | $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ | 2 | （ $2,+\infty$ ） | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | $f^{\prime}(x)$ | － | 0 | ＋ | 0 | － | 0 | ＋ | | $f(x)$ | v | 极小值 | 7 | 极大值 | ↘ | 极小值 | 7 | 所以 $f(x)$ 在 $\left(0, \frac{1}{2}\right),(2,+\infty)$ 内是增函数，在 $(-\infty, 0),\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ 内是减函数． （ II ）解：$f^{\prime}(x)=x\left(4 x^{2}+3 a x+4\right)$ ，显然 $x=0$ 不是方程 $4 x^{2}+3 a x+4=0$ 的根． 为使 $f(x)$ 仅在 $x=0$ 处有极值，必须 $4 x^{2}+3 a x+4 \geq 0$ 成立，即有 $\Delta=9 a^{2}-64 \leq 0$ ． 解些不等式，得 $-\frac{8}{3} \leq a \leq \frac{8}{3}$ ．这时，$f(0)=b$ 是唯一极值． 因此满足条件的 $a$ 的取值范围是 $\left[-\frac{8}{3}, \frac{8}{3}\right]$ ． （III）解：由条件 $a \in[-2,2]$ ，可知 $\Delta=9 a^{2}-64 0$ 恒成立． 当 $x 0$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ． 因此函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的最大值是 $f(1)$ 与 $f(-1)$ 两者中的较大者． 为使对任意的 $a \in[-…

2008 高考数学第 21 题答案解析

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