（21）（本小题满分 14 分） 已知函数 f(x)=x^…——2008 高考数学第 21 题答案解析

【解答】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识 ，考查综合分析和解决问题的能力。满分 14 分。
（ I ）解：$f^{\prime}(x)=4 x^{3}+3 a x^{2}+4 x=x\left(4 x^{2}+3 a x+4\right)$ ．
当 $a=-\frac{10}{3}$ 时，$f^{\prime}(x)=x\left(4 x^{2}-10 x+4\right)=2 x(2 x-1)(x-2)$ ．

令 $f^{\prime}(x)=0$ ，解得 $x_{1}=0, x_{2}=\frac{1}{2}, x_{3}=2$ 。
当 $x$ 变化时，$f^{\prime}(x), ~ f(x)$ 的变化情况如下表：

所以 $f(x)$ 在 $\left(0, \frac{1}{2}\right),(2,+\infty)$ 内是增函数，在 $(-\infty, 0),\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ 内是减函数．
（ II ）解：$f^{\prime}(x)=x\left(4 x^{2}+3 a x+4\right)$ ，显然 $x=0$ 不是方程 $4 x^{2}+3 a x+4=0$ 的根．

为使 $f(x)$ 仅在 $x=0$ 处有极值，必须 $4 x^{2}+3 a x+4 \geq 0$ 成立，即有 $\Delta=9 a^{2}-64 \leq 0$ ．
解些不等式，得 $-\frac{8}{3} \leq a \leq \frac{8}{3}$ ．这时，$f(0)=b$ 是唯一极值．
因此满足条件的 $a$ 的取值范围是 $\left[-\frac{8}{3}, \frac{8}{3}\right]$ ．
（III）解：由条件 $a \in[-2,2]$ ，可知 $\Delta=9 a^{2}-64<0$ ，从而 $4 x^{2}+3 a x+4>0$ 恒成立．

当 $x<0$ 时，$f^{\prime}(x)<0$ ；当 $x>0$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ．

因此函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的最大值是 $f(1)$ 与 $f(-1)$ 两者中的较大者．
为使对任意的 $a \in[-2,2]$ ，不等式 $f(x) \leq 1$ 在 $[-1,1]$ 上恒成立，当且仅当 $\left\{\begin{array}{l}f(1) \leq 1 \\ f(-1) \leq 1\end{array}\right.$ ，即 $\left\{\begin{array}{l}b \leq-2-a \\ b \leq-2+a\end{array}\right.$ ，在 $a \in[-2,2]$ 上恒成立．

所以 $b \leq-4$ ，因此满足条件的 $b$ 的取值范围是 $(-\infty,-4]$ ．