（2011 • 浙江）设函数 f ( x )=( x -…_2011浙江高考数学第22题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

22、（2011 • 浙江）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}-\mathrm{a})^{2} \ln \mathrm{x}, \mathrm{a} \in \mathrm{R}$
（I）若 $x=e$ 为 $y=f(x)$ 的极值点，求实数 $a$ ；
（II）求实数 a 的取值范围，使得对任意的 $\mathrm{x} \in(0,3 \mathrm{a}]$ ，恒有 $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \leq 4 \mathrm{e}^{2}$ 成立．
注： e 为自然对数的底数．
考点：函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用。
专题：计算题。
分析：①利用极值点处的导数值为 0 ，求出导函数，将 $\mathrm{x}=\mathrm{e}$ 代入等于 0 ，求出 a ，再将 a 的值代入检验．
（II）对 a 分类讨论，求出 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的最大值，令最大值小于 $4 \mathrm{e}^{2}$ ，解不等式求出 a 的范围。

Accepted Answer

解答：解：（I）求导得 $f^{\prime}(x)=2(x-a) \ln x+\frac{(x-a)^{2}}{x}=(x-a)\left(2 \ln x+1-\frac{a}{x}\right)$ ，
因为 $x=e$ 是 $f(x)$ 的极值点，
所以 $f^{\prime}(e)=0$
解得 $a=e$ 或 $a=3 e$ ．
经检验，符合题意，
所以 $a=e$ ，或 $a=3 e$
（II）①当 $0<3 a \leq 1$ 时，对于任意的实数 $x \in(0,3 a]$ ，恒有 $f(x) \leq 0<4 e^{2}$ 成立，即 $0②当 $3 a>1$ 时即 $a>\frac{1}{3}$ 时，由①知，$x \in(0,1]$ 时，不等式恒成立，故下研究函数在（1，3a］上的最大值，

首先有 $f(3 a)=(3 a-a)^{2} \ln 3 a=4 a^{2} \ln 3 a$ 此值随着 $a$ 的增大而增大，故应有
$4 a^{2} \ln 3 a \leq 4 e^{2}$ 即 $a^{2} \ln 3 a \leq e^{2}$,

故参数的取值范围是 $0 \frac{1}{3}$ 且 $a^{2} \ln 3 a \leq e^{2}$ ，

点评：本题考查函数的极值点的导数值为 0 、解不等式恒成立的参数范围常转化为求函数的最值．

（2011 • 浙江）设函数 f ( x )=( x -…——2011 高考数学第 22 题答案解析

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