(本小题满分 12 分) 因冰雪灾害,某柑桔基地果林严重受…——2008 高考数学第 18 题答案解析

2008_退役省自主命题 (2008·理)

2008 全国 第 18 题 解答题 区分题
2008_退役省自主命题 (2008·理)

18.(本小题满分 12 分)
因冰雪灾害,某柑桔基地果林严重受损,为此有关专家提出两种拯救果树的方案,每种方

案都需分两年实施。若实施方案一,预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的 1.0 倍、 0.9倍、 0.8 倍的概率分别是 $0.3 , 0.3 , 0.4$ ;第二年可以使柑桔产量为第一年产量的 1.25 倍、 1 .0 倍的概率分别是 $0.5 , 0.5$ 。若实施方案二,预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的 1.2 倍、 1.0 倍、 0.8 倍的概率分别是 $0.2 , 0.3 , 0.5$ ;第二年可以使柑桔产量为第一年产量的 1.2倍、 1.0 倍的概率分别是 $0.4 , 0.6$ .实施每种方案第一年与第二年相互独立,令 $\xi_{i}(i=1,2)$表示方案 $i$ 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数。
(1)写出 $\xi_{1} , \xi_{2}$ 的分布列;
(2)实施哪种方案,两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大?
(3)不管哪种方案,如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量,预计利润分别为 10 万元、 15 万元、 20 万元。问实施哪种方案的平均利润更大?

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【解答】
解:(1)$\xi_{1}$ 的所有取值为 $0.8,0.9,1.0,1.125,1.25$
$\xi_{2}$ 的所有取值为 $0.8,0.96,1.0,1.2,1.44$ ,
$\xi_{1} , \xi_{2}$ 的分布列分别为:

$\xi_{1}$0.80.91.01.1251.25
P0.20.150.350.150.15
$\xi_{2}$0.80.961.01.21.44
P0.30.20.180.240.08

(2)令 A 、 B 分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件,
$P(A)=0.15+0.15=0.3$,
$P(B)=0.24+0.08=0.32$
可见,方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大
(3)令 $\eta_{i}$ 表示方案 $i$ 所带来的效益,则

$\eta_{1}$101520
P0.350.350.3
$\eta_{2}$101520
P0.50.180.32

所以 $E \eta_{1}=14.75, E \eta_{2}=14.1$
可见,方案一所带来的平均效益更大。

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