（12分）（2011 •山东）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员…——2011 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
（12分）（2011•山东）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对 A ，乙对 B ，丙对 C 各一盘，已知甲胜 A ，乙胜 B ，丙胜 C 的概率分别为 $0.6,0.5,0.5$ ，假设各盘比赛结果相互独立。
（I）求红队至少两名队员获胜的概率；

（II）用 $\xi$ 表示红队队员获胜的总盘数，求 $\xi$ 的分布列和数学期望 $\mathrm{E} \xi$ ．

考点： n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差。
专题：概率与统计。
分析：（I）由题意知红队至少有两名队员获胜包括四种情况，一是只有甲输，二是只有乙输，三是只有丙输，四是三个人都赢，这四种情况是互斥的，根据相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率得到结果。
（II）由题意知 $\xi$ 的可能取值是 $0,1,2,3$ ，结合变量对应的事件写出变量对应的概率，变量等于 2 使得概率可以用 1 减去其他的概率得到，写出分布列，算出期望。
解答：解：（I）设甲胜 A 的事件为 D ，乙胜 B 的事件为 E ，丙胜 C 的事件为 F ， ∵ 甲胜 A ，乙胜 B ，丙胜 C 的概率分别为 $0.6,0.5,0.5$可以得到 $\mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ 的对立事件的概率分别为 $0.4,0,5,0.5$红队至少两名队员获胜包括四种情况： $\mathrm{DE} \overline{\mathrm{F}}$ ， $\mathrm{D} \overline{\mathrm{E}} \mathrm{F}$ ，$\overline{\mathrm{D}} \mathrm{EF}$ ， DEF ，这四种情况是互斥的，

$$ \therefore \mathrm{P}=0.6 \times 0.5 \times 0.5+0.6 \times 0.5 \times 0.5+0.4 \times 0.5 \times 0.5+0.6 \times 0.5 \times 0.5=0.55 $$

（II）由题意知 $\xi$ 的可能取值是 $0,1,2,3$

$$ \begin{aligned} & P(\xi=0)=0.4 \times 0.5 \times 0.5=0.1 ., \\ & P(\xi=1)=0.4 \times 0.5 \times 0.5+0.4 \times 0.5 \times 0.5+0.6 \times 0.5 \times 0.5=0.35 \\ & P(\xi=3)=0.6 \times 0.5 \times 0.5=0.15 \\ & P(\xi=2)=1-0.1-0.35-0.15=0.4 \end{aligned} $$

$\therefore \xi$ 的分布列是

$\therefore \mathrm{E} \xi=0 \times 0.1+1 \times 0.35+2 \times 0.4+3 \times 0.15=1.6$
点评：本题考查互斥事件的概率，考查相互独立事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，解题时注意对立事件概率的使用，一般遇到从正面解决比较麻烦的，就选择利用对立事件来解决。