（12分）已知函数 f(x)=-x^ 2 +a x+1-l…——2008 高考数学第 21 题答案解析

【考点】3D：函数的单调性及单调区间；3E：函数单调性的性质与判断．
【专题】16：压轴题．
【分析】①求单调区间，先求导，令导函数大于等于 0 即可．
②已知 $f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 上是减函数，即 $f^{\prime}(x) \leq 0$ 在区间 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 上恒成立，然后用分离参数求最值即可．

【解答】解：（ I ）当 $a=3$ 时，$f(x)=-x^{2}+3 x+1-\ln x$
$\therefore f^{\prime}(x)=-2 x+3-\frac{1}{x}=\frac{-\left(2 x^{2}-3 x+1\right)}{x}$
解 $f^{\prime}(x)>0$ ，
即： $2 x^{2}-3 x+1<0$
函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ ．
（II） $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=-2 \mathrm{x}+\mathrm{a}-\frac{1}{\mathrm{x}}$ ，
$\because f(x)$ 在 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 上为减函数，
$\therefore x \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 时 $-2 x+a-\frac{1}{x} \leq 0$ 恒成立。
即 $\mathrm{a} \leq 2 \mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}$ 恒成立．
设 $g(x)=2 x+\frac{1}{x}$ ，则 $g^{\prime}(x)=2 \frac{1}{x^{2}}$
$\because x \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 时，$\frac{1}{x^{2}}>4$ ，
$\therefore g^{\prime}(x)<0$ ，
$\therefore \mathrm{g}(\mathrm{x})$ 在 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 上递减，
$\therefore g(x)>g\left(\frac{1}{2}\right)=3$ ，
$\therefore a \leq 3$ ．
【点评】本题考查函数单调性的判断和已知函数单调性求参数的范围，此类问题一般用导数解决，综合性较强．