（5分）若函数 e^ x f (x) ~(e 2.7182…——2017 高考数学第 15 题答案解析

【解答】
（5分）（2017 • 山东）若函数 $e^{x f}(x) ~(e \approx 2.71828 \ldots$ 是自然对数的底数）在 $f(x)$ 的定义域上单调递增，则称函数 $f(x)$ 具有 $M$ 性质。下列函数中所有具有 M 性质的函数的序号为 $\_\_\_\_$ （1）④ ．
（1）$f(x)=2^{-x}(2) f(x)=3^{-x}(3) f(x)=x^{3}(4) f(x)=x^{2}+2$ ．
【解答】解：对于①，$f(x)=2^{-x}$ ，则 $g(x)=e^{x} f(x)=e^{x} \cdot 2^{-x}=\left(\frac{e}{2}\right)^{x}$ 为实数集上的增函数；

对于②，$f(x)=3^{-x}$ ，则 $g(x)=e^{x} f(x)=e^{x} \cdot 3^{-x}=\left(\frac{e}{3}\right)^{x}$ 为实数集上的减函数；
对于③，$f(x)=x^{3}$ ，则 $g(x)=e^{x} f(x)=e^{x} \bullet x^{3}$ ， $g^{\prime}(x)=e^{x} \bullet x^{3}+3 e^{x} \bullet x^{2}=e^{x}\left(x^{3}+3 x^{2}\right)=e^{x} \bullet x^{2}(x+3)$ ，当 $x<-3$ 时，$g^{\prime}(x)<0$ ，
$\therefore g(x)=e^{x f}(x)$ 在定义域 $R$ 上先减后增；
对于④，$f(x)=x^{2}+2$ ，则 $g(x)=e^{x} f(x)=e^{x}\left(x^{2}+2\right)$ ，
$g^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}\left(\mathrm{x}^{2}+2\right)+2 \mathrm{xe}^{\mathrm{x}}=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}\left(\mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{x}+2\right)>0$ 在实数集 R 上恒成立，
$\therefore g(x)=e^{x f}(x)$ 在定义域 $R$ 上是增函数．
∴ 具有 M 性质的函数的序号为（1）④．
故答案为：①④．