【答案】①$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1, \frac{y^{2}}{3}+\frac{x^{2}}{2}=1$（⿸）不存在
## 【解析】
试题分析：（1）利用正方形面积为 2 ，即可得政对角线的上为 2 ，则可得 $C_{1}$ 的两个顶点和 $C_{2}$ 的两个焦点的坐标。求的 $a_{1}, c_{2}$ 的值，再结合点 $P$ 在双曲线上，代入了曲线结合 $a, b, c$ 之间的关系即可求的 $b_{1}$ 的值，得到双曲线的方程，椭圆的焦点坐标已知，点 $P$ 在椭圆上，利用椭圆的定义 $2 a$ 即为 $P$ 到两焦点的距离之和，求出距离即可得到
$a_{2}$ 的值，利用 $a, b, c$ 之间的关系即可求出 $b_{2}$ 的值，得到椭圆的标准方程．
（2）分以下两种情况讨论，当直线 $l$ 的斜率不存在时，直线 $l$ 与 $C_{2}$ 只有一个公共点，即直线经过 $C_{2}$ 的顶点，得到直线 $l$ 的方程，代入双曲线求的 $A, B$ 点的坐标验证是否符合等式 $|\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}|=|\overrightarrow{A B}|$ ，当直线 $l$ 的斜率存在时，直线 $l$ 的方程为 $y=l x+m$ ，联立直线 $l$ 与双曲线消元得到二次方程，再利用根与系数之间的关系得到关于 $A, B$两点横纵坐标之和的表达式，利用 $k, m$ 出 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}$ 一直线 $l$ 与椭圆的方程 $\Delta=0$ 即可得到 $k, m$ 直线的关系，可得到内积 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}$ 不可能等于 0 ，进而得到 $\widehat{O A}^{2}+\overrightarrow{O B}^{2}+2 \overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}^{2} \neq \overrightarrow{O A}^{2}+\overrightarrow{O B}^{2}-2 \overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}$ ，即 $|\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}| \neq|\overrightarrow{A B}|$ ，即不存在这样的直线．
试题解析：的焦距为 $2 c_{2}$ ，由题可得 $2 c_{2}=2,2 a_{1}=2$ ，从而 $a_{1}=1, c_{2}=1$ ，因为点 $P\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, 1\right)$ 在双曲线
$x^{2}-\frac{y^{2}}{b_{1}^{2}}=1$ 上，所以 $\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3}\right)^{2}-\frac{2}{b_{1}^{2}}=1=c_{1}^{2}=3$ ，由袏圆的定 × 可得
$2 a_{2}=\sqrt{\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3}\right)^{2}+(1-1)^{2}}+\sqrt{\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3}\right)^{2}}+(1+1)^{2}=2 \sqrt{3} \Rightarrow a_{2}=\sqrt{3}$ ，于是根据椭圆 $a, b, c$ 之间的关系可得 $b_{2}^{2}=a_{2}^{2}-c_{2}^{2}=2$ ，所以 $C_{1}, C_{2}$ 的方程为 $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1, \frac{y^{2}}{3}+\frac{x^{2}}{2}=1$ ．
（2）不存在符合题设条件的直线。
（1）若直线 $l$ 垂直于 $x$ 轴，即直线 $l$ 的斜率不存在，因为 $l$ 与 $C_{2}$ 只有一个公共点，所以直线的方程为 $l: x=\sqrt{2}$ 或 $x=-\sqrt{2}$,
当 $x=\sqrt{2}$ 时，易知 $A(\sqrt{2}, \sqrt{3}), B(\sqrt{2},-\sqrt{3})$ ，所以 $|\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}|=2 \sqrt{2},|\overrightarrow{A B}|=2 \sqrt{3}$ ，此时 $|\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}| \neq|\overrightarrow{A B}|$ ．当 $x=-\sqrt{2}$ 时，同理可得 $|\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}| \neq|\overrightarrow{A B}|$ ．
（2）当直线 $l$ 不垂直于 $x$ 轴时，即直线 $l$ 的斜率存在昌设主线 $l$ 的方程为 $y=k x+m$ ，联立直线与双曲线方程 $\left\{\begin{array}{l}y=k x+m \\ x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1\end{array}\right.$ 可得 $\left(3-k^{2}\right) x^{2}-2 k m x-m^{2}-3=0$, 当 $l$ 与 $C_{1}$ 相交于 $A, B$ 两点时，设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，则 $x_{1}, x_{2}$ 满足方程 $\left(3-k^{2}\right) x^{2}-2 k m x-m^{2}-3=0$ ，由根与系数的关系可得 $x_{1}+x_{2}=\frac{2 k m}{3-k^{2}}, ~ x_{1} x_{2}=\frac{m^{2}+3}{k^{2}-3}$ ，于
是 $y_{1} y_{2}=k^{2} x_{1} x_{2}+k n\left(x_{1}+x_{2}\right)+m^{2}=\frac{3 k^{2}}{k^{2}}-\frac{3 m^{2}}{-3}$ ，联立直线 $l$ 与抑圆 $\left\{\begin{array}{l}y=k x+m \\ \frac{y^{2}}{3}+\frac{x^{2}}{2}=1\end{array}\right.$ 可得
$\left(2 k^{2}+3\right) x^{2}+4 k m x+2 m^{2}-6=0$ ，因为直线 $l$ 与相圆只有一个交点，
所以 $\Delta=0 \Rightarrow 16 k^{2} m^{2}-8\left(2 k^{2}+3\right)\left(m^{2}-3\right)=0$ ，化简可得 $2 k^{2}=m^{2}-3$ ，因此
$\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}=\frac{m^{2}+3}{k^{2}-3}+\frac{3 k^{2}-3 m^{2}}{k^{2}-3}=\frac{-k^{2}-3}{k^{2}-3} \neq 0$ ，
于是 $\overrightarrow{O A}^{2}+\overrightarrow{O B}^{2}+2 \overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B} \neq \overrightarrow{O A}^{2}+\overrightarrow{O B}^{2}-2 \overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}$ ，即 $|\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}|^{2} \neq|\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}|^{2}$ ，所以 $|\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}| \neq|\overrightarrow{A B}|$ ，
综上不存在符合题目条件的直线 $l$ 。
【考点定位】椭圆双曲线向量向量内积
