20．（本小题满分 13 分）如图 5，$O$ 为坐标原点，双曲线 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}}-\frac{y^{2}}{b_{1}^{2}}=1\left(a_{1}>0, b_{1}>0\right)$ 和椭圆 $C_{2}: \frac{x^{2}}{a_{2}{ }^{2}}+\frac{y^{2}}{b_{2}{ }^{2}}=1\left(a_{2}>b_{2}>0\right)$ 均过点 $P\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, 1\right)$ ，且以 $C_{1}$ 的两个顶点和 $C_{2}$ 的两个焦点为顶点的四边形是面积为 2 的正方形。
（1）求 $C_{1}, C_{2}$ 的方程；
（2）是否存在直线 $l$ ，使得 $l$ 与 $C_{1}$ 交于 $A, B$ 两点，与 $C_{2}$ 只有一个公共点，且 $|\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}|=|\overrightarrow{A B}|$ ？证明你的结论．
－图 5
参考答案
（1）$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1, \frac{y^{2}}{3}+\frac{x^{2}}{2}=1$（⿸）不存在