【答案】①$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1 \quad \frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$（2） 2
## 【解析】
试题分析：（1）利用椭圆和双曲线 $a, b, c$ 之间的关系可以用 $a, b$ 分别表示双曲线和椭圆的离心率和焦点，由题目 $e_{1} e_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 和 $\left|F_{2} F_{4}\right|=\sqrt{3}-1$ 即可得到 $a, b$ 之间的两个方程，联立方程消元即可求出 $a, b$ 的值，得到双曲线和椭圆的标准方程。
（2）利用①求出焦点 $F_{1}$ 的坐标，设出弦 $A B$ 的直线台注 $x=n y-1$ 跃立直线与椭圆消 $x$ 得到关于 $y$ 的一元二次方程，再利用根与系数的关系得到 $A, B$ 市点纵坐标之间的和三只，进而得到 $M$ 点的纵坐标带入 AB 直线即可得到 $M$ 的横坐标，进而求出直线 $O M$ 的方程，即为了线 $P Q$ 的方程，联立直线 $P Q$ 的方程 $\Delta>0$ 得到 $n$ 的取值范围和求出点 $P, Q$ 的坐标得到 $P Q$ 的长度，利用点到直线的距离得到 $A, B$ 到直线 $P Q$ 的距离表达式，进而用 $n$ 表示四边形的面积，利用不等式的性质和 $n$ 的取值范围即可得到面积的最小值．
试题解析：（1）由题可得 $e_{1}=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}, e_{2}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}$ ，且 $\left|F_{1} F_{2}\right|=2 \sqrt{a^{2}-b^{2}}$ ，因为 $e_{1} e_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且 $\left|F_{2} F_{4}\right|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}-\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ ，所以 $\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}} \sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 且 $\sqrt{a^{2}+b^{2}}-\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{3}-1 \Rightarrow a=\sqrt{2} b$ 且 $b=1, a=\sqrt{2}$ ，所以椭圆 $C_{1}$ 方程为 $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ ，双牛线 $C_{2}$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$ ．
②由①可得 $F_{2}(-1,0)$ ，因为直线 $A B$ 不垂点于 $y$ 轴，所以设直线 $A B$ 的方程为 $x=n y-1$ ，联立直线与椭圆方程可得 $\left(n^{2}+2\right) y^{2}-2 n y-1=0$ ，则 $y_{A}+y_{B}=\frac{2 n}{n^{2}+2}, y_{A} y_{B}=\frac{-1}{n^{2}+2}$ ，则 $y_{M}=\frac{n}{n^{2}+2}$ ，因为 $M\left(x_{M}, y_{M}\right)$ 在
直线 $A B$ 上，所以 $x_{M}=\frac{n^{2}}{n^{2}+2}-1=\frac{-2}{n^{2}+2}$ ，则直线 $P Q$ 的方程为 $y=\frac{y_{M}}{x_{M}} x \Rightarrow y=-\frac{n}{2} x$ ，联立直线 $P Q$ 与双曲线可得 $x^{2}-2\left(-\frac{n}{2} x\right)^{2}-2=0 \Rightarrow x^{2}=\frac{4}{2-n^{2}}, y^{2}=\frac{n^{2}}{2-n^{2}}$ 则 $2-n^{2}>0 \Rightarrow-\sqrt{2}则 $2 d=\frac{\left|n x_{A}+2 y_{A}\right|+\left|n x_{B}+2 y_{B}\right|}{\sqrt{n^{2}+4}}=\frac{\left|n x_{A}+2 y_{A}-\left(n x_{B} \div 2 y_{B}\right)\right|}{\sqrt{n^{2}+4}}$－因为 $A, B$ 在直线 $x=n y-1$ 上，所以 $2 d=\frac{\left(n^{2}+2\right)\left|y_{A}-y_{B}\right|}{\sqrt{n^{2}+4}}=\frac{\left(n^{2}+2\right) \sqrt{\left(y_{A}+y_{B}\right)^{2}-4 y_{A} y_{B}}}{\sqrt{n^{2}+4}}=\frac{2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{1+n^{2}}}{\sqrt{n^{2}+4}}$,
则四边形 $A P B Q$ 面积 $S=\frac{1}{2}|P Q| \cdot 2 d=\frac{2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{1+n^{2}}}{\sqrt{2-n^{2}}}=2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{-1+\frac{3}{2-n^{2}}}$ ，因为 $0<2-n^{2} \leq 2$ ，所以当 $n^{2}=0$ 时，四边形 $A P B Q$ 面积的最小值为 2 ．
## 【考点定位】弦长双曲线 椭圆 最值
