（14 分）已知曲线 C:(5-m) x^ 2 +(m-2…——2012 高考数学第 19 题答案解析

【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角； K 3 ：椭圆的标准方程； KH ：直线与圆锥曲线的综合．

【专题】15：综合题；16：压轴题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）原曲线方程，化为标准方程，利用曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆可得不等式组，即可求得 $m$ 的取值范围；
②由已知直线代入椭圆方程化简得：（ $2 k^{2}+1$ ）$x^{2}+16 k x+24=0, ~ \triangle=32 \left(2 k^{2}-3\right)$ ，解得：$k^{2}>\frac{3}{2}$ ，设 $N\left(x_{N}, k x_{N}+4\right), M\left(x_{M}, k x_{M}+4\right), G\left(x_{G}\right.$ ，

1），$M B$ 方程为：$y=\frac{k x_{M}+6}{x_{M}} x-2$ ，则 $G\left(\frac{3 x_{M}}{k x_{M}+6}, 1\right)$ ，从而可得 $\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\left(\frac{3 \mathrm{x}_{\mathrm{M}}}{\mathrm{kx}_{\mathrm{M}}+6},-1\right), \overrightarrow{\mathrm{AN}}=\left(\mathrm{x}_{\mathrm{N}}, \mathrm{kx}_{\mathrm{N}}+2\right)$ ，欲证 $\mathrm{A}, \mathrm{G}, \mathrm{N}$ 三点共线，只需证 $\overrightarrow{\mathrm{AG}}$ ，
$\overrightarrow{\mathrm{AN}}$ 共线，利用韦达定理，可以证明．

【解答】（1）解：原曲线方程可化简得：$\frac{x^{2}}{\frac{8}{5-m}}+\frac{y^{2}}{\frac{8}{m-2}}=1$
由题意，曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆可得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{8}{5-m}>\frac{8}{m-2} \\ \frac{8}{5-m}>0 \\ \frac{8}{m-2}>0\end{array}\right.$ ，解得：$\frac{7}{2}（2）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：$\left(2 k^{2}+1\right) x^{2}+16 k x+24=0, \triangle=32 \left(2 k^{2}-3\right)>0$ ，解得：$k^{2}>\frac{3}{2}$
由韦达定理得：$x_{M}+x_{N}=-\frac{16 k}{2 k^{2}+1}$①，$x_{M} x_{N}=\frac{24}{2 k^{2}+1}$ ，②
设 $N\left(x_{N}, k x_{N}+4\right), M\left(x_{M}, k x_{M}+4\right), G\left(x_{G}, 1\right), M B$ 方程为：$y=\frac{k x_{M}+6}{x_{M}} x-2$ ，
则 $\mathrm{G}\left(\frac{3 \mathrm{x}_{\mathrm{M}}}{\mathrm{kx}_{\mathrm{M}}+6}, 1\right)$ ，
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{AG}}=\left(\frac{3 \mathrm{x}_{\mathrm{M}}}{\mathrm{kx}_{\mathrm{M}}+6},-1\right), \overrightarrow{\mathrm{AN}}=\left(\mathrm{x}_{\mathrm{N}}, \mathrm{kx}_{\mathrm{N}}+2\right)$,
欲证 $A, G, N$ 三点共线，只需证 $\overrightarrow{\mathrm{AG}}, \overrightarrow{\mathrm{AN}}$ 共线
即 $\frac{3 x_{M}}{x_{M} k+6}\left(x_{N} k+2\right)=-x_{N}$ 成立，化简得：$(3 k+k) x_{M} x_{N}=-6\left(x_{M}+x_{N}\right)$
将（1）（2）代入可得等式成立，则 $A, G, N$ 三点共线得证。
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三点共线，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行求解．