【答案】：（1）$x^{2}=4 y$ ．（2） 2
【解析】：（1）由 $\overrightarrow{M A}=(-2-x, 1-y), \overrightarrow{M B}=(2-x, 1-y)$ ，
$$
|\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}|=\sqrt{(-2 x)^{2}+(2-2 y)^{2}}, \overrightarrow{O M} \cdot(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})=(x, y) \cdot(0,2)=2 y,
$$
由已知得 $\sqrt{(-2 x)^{2}+(2-2 y)^{2}}=2 y+2$ ，
化简得曲线 $C$ 的方程；$x^{2}=4 y$ ．
（2）假设存在点 $P(0, t)(t<0)$ 满足条件，则直线
$P A$ 的方程是 $y=\frac{t-1}{2} x+t, P B$ 的方程是 $y=\frac{1-t}{2} x+t$
曲线 $C$ 在 $Q$ 处的切线 $l$ 的方程是 $y=\frac{x_{0}}{2} x-\frac{x_{0}}{4}$ ，它与 $y$ 轴的交点为 $F\left(0,-\frac{x_{0}^{2}}{4}\right)$ ．
由于 $-2①$-1即 $l$ 与直线 $P A$ 平行，故当 $-1（2）当 $t \leq-1$ 时，$\frac{t-1}{2} \leq-1<\frac{x_{0}}{2}, \frac{1-t}{2} \geq 1>\frac{x_{0}}{2}$ ，所以 $l$ 与直线 $P A, P B$ 一定相交。
分别联立议方程组 $\left\{\begin{array}{l}y=\frac{t-1}{2} x+t \\ y=\frac{x_{0}}{2} x-\frac{x_{0}^{2}}{4}\end{array},\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1-t}{2} x+t \\ y=\frac{x_{0}}{2} x-\frac{x_{0}^{2}}{4}\end{array}\right.\right.$ ，解得 $D, E$ 的横坐标分别是
$$
x_{0}=\frac{x_{0}^{2}+4}{2\left(x_{0}+1-t\right)}, x_{E}=\frac{x_{0}^{2}+4 t}{2\left(x_{0}+t-1\right)} \text {, 则 } x_{E}-x_{0}=(1-t) \frac{x_{0}^{2}+4 t}{x_{0}^{2}-(t-1)^{2}} \text {, }
$$
又 $|F P|=-\frac{x_{0}^{2}}{4}-t$ ，有 $S_{\triangle P D E}=\frac{1}{2} \cdot|F P| \cdot\left|x_{E} \cdot x_{D}\right|=\frac{1-t}{8} \cdot \frac{\left(x_{0}^{2}+4 t\right)^{2}}{(t-1)^{2}-x_{0}^{2}}$ ，
又 $S_{\triangle Q A B}=\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot\left(1-\frac{x_{0}^{2}}{4}\right)=\frac{4-x_{0}^{2}}{2}$ ，于是 $\frac{S_{\triangle Q A B}}{S_{\triangle P D E}}=1-\frac{4}{1-t} \cdot \frac{\left(x_{0}^{2}-4\right)\left[x_{0}^{2}-(t-1)^{2}\right]}{\left(x_{0}^{2}+4 t\right)^{2}}$
$=\frac{4}{1-t} \cdot \frac{x_{0}^{4}-\left[4+(t-1)^{2}\right] x_{0}^{2}+4(t-1)^{2}}{x_{0}^{4}+8 t x_{0}^{2}+16 t^{2}}$
对任意 $x_{0} \in(-2,2)$ ，要使 $\frac{S_{\triangle Q A B}}{S_{\triangle P D E}}$ 为常数，即只须 $t$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}-4-(t-1)^{2}=8 t \\ 4(t-1)^{2}=16 t^{2}\end{array}\right.$ ，
解得 $t=-1$ ，此时 $\frac{S_{\triangle Q A B}}{S_{\triangle P D E}}=2$ ，故存在 $t=-1$ ，使得 $\triangle Q A B$ 与 $\triangle P D E$ 的面积之比是常数 2 。
【考点定位】本题以平面向量为载体，考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系以及分类讨论的数学思想。高考中，解析几何解答题一般有三大方向的考查．一、考查椭圆的标准方程，离心率等基本性质，直线与椭圆的位置关系引申出的相关弦长问题，定点，定值，探讨性问题等；二、考查抛物线的标准方程，准线等基本性质，直线与抛物线的位置关系引申出的相关弦长问题，中点坐标公式，定点，定值，探讨性问题等；三、椭圆，双曲线，抛物线综合起来考查。一般椭圆与抛物线结合考查的可能性较大，因为它们都是考纲要求理解的内容．