（本题满分 10 分） 在平面直角坐标系 x o y 中，…——2009 高考数学第 21 题答案解析

［解析］

（第 22 题图）

［必做

题］本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力。满分 10 分。

解：（1）由题意，可设拖物线 $C$ 的标准方程为 $y^{2}=2 p x$ ．因为点 $A(2,2)$在抛物线 $C$ 上，所以 $p=1$ ．因此，抛物线 $C$ 的标准方程为 $y^{2}=2 x$ ．
②由（1）可得焦点 $F$ 的坐标是 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ ，又直线 $O A$ 的斜率为 $\frac{2}{2}=1$ ，故与直线 $O A$ 垂直的直线的斜率为 -1 ．因此，所求直线的方程是 $x+y-\frac{1}{2}=0$ ．

## （3）解法一：

设点 $D$ 和 $E$ 的坐标分别为 $\left(x_{1}, y_{1}\right)$ 和 $\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，直线 $D E$ 的方程是 $y=k(x-m)$ ， $k \neq 0$ ，将 $x=\frac{y}{k}+m$ 代人 $y^{2}=2 x$ ，有 $k y^{2}-2 y-2 k m=0$ ，解得 $y_{1,2}=\frac{1 \pm \sqrt{1+2 m k^{2}}}{k}$ ．
由 $M E=2 D M$ 知 $1+\sqrt{1+2 m k^{2}}=2\left(\sqrt{1+2 m k^{2}}-1\right)$ ，化简得 $k^{2}=\frac{4}{m}$ ．因此

$$ \begin{aligned} D E^{2} & =\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(1+\frac{1}{k^{2}}\right)\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2} \\ & =\left(1+\frac{1}{k^{2}}\right) \frac{4\left(1+2 m k^{2}\right)}{k^{2}}=\frac{9}{4}\left(m^{2}+4 m\right) . \end{aligned} $$

所以 $f(m)=\frac{3}{2} \sqrt{m^{2}+4 m}(m>0)$ ．

## 解法二：

设 $D\left(\frac{s^{2}}{2}, s\right), E\left(\frac{t^{2}}{2}, t\right)$ ．由点 $M(m, 0)$ 及 $\overrightarrow{M E}=2 \overrightarrow{D M}$ 得

$$ \frac{1}{2} t^{2}-m=2\left(m-\frac{s^{2}}{2}\right), t-0=2(0-s) $$

因此 $t=-2 s, m=s^{2}$ ．所以

$$ f(m)=D E=\sqrt{\left(2 s^{2}-\frac{s^{2}}{2}\right)^{2}+(-2 s-s)^{2}}=\frac{3}{2} \sqrt{m^{2}+4 m}(m>0) $$